文章目录
一. 谓词逻辑相关概念1. 个体词2. 谓词3. 量词( 1 ) 全称量词( 2 ) 存在量词二. 命题符号化 技巧1. 两个基本公式 ( 重要 )( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体2. 命题符号化技巧( 1 ) 命题符号化方法( 2 ) 解题技巧( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法3. 谓词公式定义三. 命题符号化 习题1. 简单量词 示例( 1 ) 全称量词示例( 2 ) 全称量词 示例 2( 3 ) 存在 量词 示例2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同3. 带 或者 的 命题符号化( 1 ) 带 或者 的 命题符号化( 2 ) 带 或者的 命题 示例 24. 复杂命题 示例( 1 ) 复杂命题的符号化( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析( 3 ) 当且仅当 转化问题( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化一. 谓词逻辑相关概念
1. 个体词
个体 简介 :
1.个体 来源 :一阶谓词逻辑 中 ,将 原子命题 分成 主语 和 谓语, 这里便有了个体词与谓词的 概念 ;2.个体 概念 :将独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 )称为个体或个体词;3.个体 变元 :使用 a,b,ca,b,ca,b,c 表示个体变元;4.个体 常元 :使用 x,y,zx, y, zx,y,z 表示个体常元;5.个体域 概念 :个体 变元 的取值称为个体域;6.个体域 取值 :个体域 可以 取值有穷集合或无穷集合;7.全总个体域 :宇宙间一切事物 组成的 个体域称为全总个体域;
命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;
谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;
2. 谓词
谓词 简介 :
1.谓词概念 :将表示个体性质或彼此之间关系的 词 称为谓词;2.谓词表示 :使用 F,G,HF, G, HF,G,H 表示谓词 常元 或 变元;3.个体性质谓词表示 :F(x)F(x)F(x) 表示 xxx 具有 性质 FFF , 如 F(x)F(x)F(x) 表示 xxx 是黑的 ;4.关系性质谓词表示示例 :F(x,y)F(x, y)F(x,y) 表示 x,yx, yx,y 具有 关系 F , 如 : FFFG(x,y)G(x, y)G(x,y) 表示 xxx 大于 yyy;
3. 量词
( 1 ) 全称量词
全称量词 :Any 中的 A 上下颠倒过来 ;
1.语言对应 :对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;2.表示方式 :使用符号 ∀\forall∀ 表示;3.解读1 :∀x\forall x∀x 表示个体域中 所有的 xxx;4.解读2 :∀x(F(x))\forall x( F(x) )∀x(F(x)) 表示 , 个体域中所有的 xxx 都具有性质 FFF;
( 2 ) 存在量词
存在量词 :Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;
1.语言对应 :对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;2.表示方式 :使用符号 ∃\exist∃ 表示;3.解读1 :∃x\exist x∃x 表示个体域中 存在着的 xxx;4.解读2 :∃x(F(x))\exist x( F(x) )∃x(F(x)) 表示 , 个体域中 存在 xxx 具有性质 FFF;
二. 命题符号化 技巧
1. 两个基本公式 ( 重要 )
( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G
个体域中 所有 有性质 FFF 的 个体 , 都 具有 性质 GGG ;
使用谓词逻辑如下表示 :
① F(x)F(x)F(x) : xxx 具有性质 FFF ;
② G(x)G(x)G(x) : xxx 具有性质 GGG ;
③ 命题符号化为 :
∀x(F(x)→G(x))\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )∀x(F(x)→G(x))
( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体
个体域 中 存在有性质 FFF 同时有性质 GGG 的个体 ;
使用谓词逻辑如下表示 :
① F(x)F(x)F(x) : xxx 具有性质 FFF ;
② G(x)G(x)G(x) : xxx 具有性质 GGG ;
③ 命题符号化为 :
∃x(F(x)∧G(x))\exist x ( F(x) \land G(x) )∃x(F(x)∧G(x))
2. 命题符号化技巧
( 1 ) 命题符号化方法
命题符号化方法 :
1.写出个体域 :先把 个体域 写明白, 即表明 ∀x\forall x∀x , 代表 所有的什么事物,如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域;2.写出性质个关系 谓词 :使用 F,G,HF , G , HF,G,H 表明 个体的 性质 或 关系;3.命题符号 :将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释;
( 2 ) 解题技巧
由全称量词 或 存在量词个体词谓词组合成的 谓词逻辑,也可以当做 一个 谓词逻辑 F(x)F(x)F(x) 或 G(x,y)G(x, y)G(x,y) 部件再次进行组合;
如下 谓词逻辑 :
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
其中 ∀y(G(y)→H(x,y))\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )∀y(G(y)→H(x,y)) 是已经组合过的 谓词逻辑,现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 AAA,再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下:
∀x(F(x)→A)\forall x (F(x) \rightarrow A)∀x(F(x)→A)
因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法
当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 :一定要引入 第三方 的变量;
2> 性质 或 关系 正向 推演 :一般模式是
① 对于所有的 xxx 与 存在的一个 yyy 有 某种性质或关系,
② 对于所有的 xxx 和 所有的 zzz 存在某种性质或关系 ;
③ yyy 与 zzz 具有相等的属性 ;
3> 性质 或 关系 反向推演 :一般模式是 :
① 对于所有的 xxx 与 存在的一个 yyy 有 某种性质或关系,
② yyy 与 所有的 zzz 有另一种性质 或 关系,一般是相等 或 不等 关系,
③ 可以推出 xxx 和 zzz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系;
3. 谓词公式定义
谓词公式定义 :
1.原始谓词公式 :nnn 元 谓词是一个谓词公式;2.否定式 :如果 AAA 是谓词公式 , 那么 (¬A)(\lnot A)(¬A) 也是谓词公式;3.两个谓词公式 组合 :如果 A,BA, BA,B 是谓词公式,那么 (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)(A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B)(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 四种联结词 组合成的符号,也是谓词公式;4.谓词公式 与 量词 组合 :如果 AAA 是谓词公式 , 且含有 个体变元xxx ,且 xxx 没有被量词限制,那么 ∀xA(x)\forall x A(x)∀xA(x) , 或 ∃xA(x)\exist x A(x)∃xA(x) 也是谓词公式;5.有限次重复 :有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式;
谓词公式拼装 :
1>经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式, 或者刚写出的 单个 谓词公式,可以 作为原始 谓词公式 SSS;
2>在 原始谓词公式 SSS 前 加上 ¬\lnot¬ 也是谓词公式 , 注意外部带上括号;( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 SSS 使用 )
3>使用 联结词 将 两个 原始谓词公式 SSS 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ;( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 SSS 使用 )
4>在 原始谓词公式 SSS 前 加上 量词约束 ∀xA(x)\forall x A(x)∀xA(x) , 或 ∃xA(x)\exist x A(x)∃xA(x) , 组合后 也是 谓词公式 ;( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 SSS 使用 )( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )
4> 步骤 的 注意点 :
① 前提 :该谓词中的个体 , 没有被量词约束,如果有 不能重复约束;
三. 命题符号化 习题
1. 简单量词 示例
( 1 ) 全称量词示例
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :人都吃饭 ;
① 个体域 :全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1>F(x)F(x)F(x) : xxx 是人 ;2>G(x)G(x)G(x) : xxx 吃饭 ;
③ 命题符号化 :
∀x(F(x)→G(x))\forall x (F(x) \rightarrow G(x))∀x(F(x)→G(x))
( 2 ) 全称量词 示例 2
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :某班级所有学生都学过微积分 ;
① 个体域 :全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1>F(x)F(x)F(x) : xxx 是某班级的学生 ;2>G(x)G(x)G(x) : xxx 学过微积分 ;
③ 命题符号化 :
∀x(F(x)→G(x))\forall x (F(x) \rightarrow G(x))∀x(F(x)→G(x))
( 3 ) 存在 量词 示例
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :有人喜欢吃糖 ;
解答 :
① 个体域 :全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1>F(x)F(x)F(x) : xxx 是人 ;2>G(x)G(x)G(x) : xxx 喜欢吃糖 ;
③ 命题符号化 :
∃x(F(x)∧G(x))\exist x (F(x) \land G(x))∃x(F(x)∧G(x))
另外一种符号化方法 :将糖也堪称一个个体 :
① 个体域 :全总个体域
② 谓词 :性质/关系 定义 :
F(x)F(x)F(x) 表示 xxx 是人G(y)G(y)G(y) 表示 yyy 是糖H(x,y)H(x, y)H(x,y) 表示 xxx 喜欢吃 yyy
③ 命题符号化 :
∃x(F(x)∧G(x)∧H(x,y))\exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y))∃x(F(x)∧G(x)∧H(x,y))
2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :男人都比女人跑得快 ;
1> 方式 一 :
① 个体域 :全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1>F(x)F(x)F(x) : xxx 是男人 ;2>G(y)G(y)G(y) : yyy 是女人 ;3>H(x,y)H(x,y)H(x,y) : xxx 比 yyy 跑得快 ;
③ 命题符号化 :∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
该命题符号有等价形式 :
∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)))\forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) ))∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)))
这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
① 将 ∀y(G(y)→H(x,y))\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )∀y(G(y)→H(x,y)) 独立分析,首先 整个 命题都处于 ∀x\forall x∀x 作用域中,这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题 AAA;
② 下面分析 ∀x(F(x)→A)∀x(F(x)→ A)∀x(F(x)→A),对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题 AAA 的性质;
2> 方式 二 :
① 个体域 :全总个体域 ;
② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :
1>F(x)F(x)F(x) : xxx 是男人 ;2>G(x)G(x)G(x) : xxx 是女人 ;3>H(x,y)H(x,y)H(x,y) : xxx 比 yyy 跑得快 ;
③ 命题符号化 :∀x∀y(F(x)∧G(x)→H(x,y))\forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y))∀x∀y(F(x)∧G(x)→H(x,y))
这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;
符号化分析 :
将 F(x)∧G(x)F(x) \land G(x)F(x)∧G(x) 看做一个整体 AAA,即 xxx 是男人 , yyy 是女人 , 针对所有的 x,yx, yx,y 有性质 AAA,那么 x,yx, yx,y 同时又有性质 或 关系 H(x,y)H(x,y)H(x,y);
3. 带 或者 的 命题符号化
( 1 ) 带 或者 的 命题符号化
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;
解答 :
① 个体域 :某班级的所有学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x)F(x)F(x) : xxx 有一台电脑 ;2> G(x,y)G(x, y)G(x,y) : xxx 和 yyy 是朋友 ;
③ 命题符号 :
∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y)))\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y)))
解析 :
1> 个体域定义 :个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;
2> 最外层量词确定 :其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词 ∀x(A(x))\forall x (A(x))∀x(A(x)) , 下面开始分析其中的 A(x)A(x)A(x) ;
3> 两个性质之间是 或者 的关系 :两个性质使用 ∨\lor∨ 进行连接 , 分别是 B(x)B(x)B(x) ( “有一台电脑” ) 和 C(x)C(x)C(x) ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 : ∀x(B(x)∧C(x))\forall x (B(x) \land C(x))∀x(B(x)∧C(x)) ;
4> “有一台电脑” :表示成 F(x)F(x)F(x) ; 当前符号 : ∀x(F(x)∧C(x))\forall x (F(x) \land C(x))∀x(F(x)∧C(x));
5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
① 首先 要虚构 一个 学生 yyy , 这个 yyy 代表那个有电脑的朋友 ;
② 再确定量词 :"有一个" 显然是存在量词 ∃y\exist y∃y( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
③ 对这个 虚构的 yyy 的要求是 , yyy 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b. x,yx,yx,y 是朋友” , 因此使用 ∧\land∧ 将其连接起来 , 最终表示成 F(y)∧G(x,y)F(y) \land G(x , y)F(y)∧G(x,y);
④ 本句的符号为 : ∃y(F(y)∧G(x,y))\exist y ( F(y) \land G(x , y) )∃y(F(y)∧G(x,y)) ;
6> 最终符号为 :∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y)))\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y))) ;
( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2
命题符号化 :
某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 :某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x)F(x)F(x) : xxx 去过北京;2> G(x)G(x)G(x) : xxx 去过上海;
③ 命题符号 :
∀x(F(x)∨G(x))\forall x ( F(x) \lor G(x))∀x(F(x)∨G(x))
解析 :
1> 个体域 量词 分析 :∀x\forall x∀x 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生;
2> F(x)∨G(x)F(x) \lor G(x)F(x)∨G(x) 解读 :表示 xxx 去过 北京 或者 去过 上海;
3> ∀x(F(x)∨G(x))\forall x ( F(x) \lor G(x))∀x(F(x)∨G(x)) 解读 :所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一;
4. 复杂命题 示例
( 1 ) 复杂命题的符号化
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :存在一个学生 xxx, 对所有不同的两个学生 yyy 和 zzz 来说 , 如果 xxx 与 yyy 是好朋友 , 并且 xxx 和 zzz 也是好朋友 , 那么 yyy 和 zzz 不是好朋友;
题目分析 :
1.个体域分析 :命题中涉及到的个体都是 学生,那么 将 个体域 设置为 全体学生;2.性质和关系分析 :① “对所有不同的两个学生” :涉及到了 两个不同的学生,因此需要 定义一个 谓词,表示 两个学生是 不同的 或 相同的;② "xxx 与 yyy 是好朋友" :涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友,因此 这里需要定义一个谓词,表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友;3.主题框架分析 :① 量词约束 :"存在一个学生 xxx, 对所有不同的两个学生 yyy 和 zzz 来说"可以写出 最外围 的 量词约束 , ∃x∀y∀z\exist x \forall y \forall z∃x∀y∀z,然后在对 x,y,zx, y , zx,y,z 之间的关系进行描述;② "如果 xxx 与 yyy 是好朋友 , 并且 xxx 和 zzz 也是好朋友 , 那么 yyy 和 zzz 不是好朋友;" :这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示;a> 命题 AAA :"如果 xxx 与 yyy 是好朋友 , 并且 xxx 和 zzz 也是好朋友",b> 命题 BBB :"那么 yyy 和 zzz 不是好朋友";c> 命题 A,BA,BA,B 的关系 :A→BA \rightarrow BA→B ;
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 :全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x,y)F(x, y)F(x,y) : xxx 和 yyy 是好朋友;2> G(x,y)G(x, y)G(x,y) : xxx 和 yyy 是相同的 ;
③ 命题符号 :
∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z))\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z))
解析 :
1> 量词分析 :∃x∀y∀z\exist x \forall y \forall z∃x∀y∀z 对应了 题目中的"存在一个学生 xxx, 对所有不同的两个学生 yyy 和 zzz 来说"
2> (¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) )(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z)) 分析 :该句对应了“不同的两个学生 yyy 和 zzz 来说 , 如果 xxx 与 yyy 是好朋友 , 并且 xxx 和 zzz 也是好朋友”同时满足 这 三个条件;
3> ¬F(y,z)\lnot F(y, z)¬F(y,z) 分析 :对应了结果 “那么 yyy 和 zzz 不是好朋友”;
4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 :(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z)( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z)(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z) ;
5> 加上量词约束 得到最终结果 :∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z))\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z)) ;
( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :某班级中 有些学生去过 北京
解答 :
( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :
命题符号化 结果 :
① 个体域 :某班级全体学生
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x)F(x)F(x) : xxx 去过北京;
③ 命题符号 :
∃x(F(x))\exist x ( F(x) )∃x(F(x))
解析 :直接写出即可,有些学生 , 使用 存在量词 ∃x\exist x∃x 表示,∃x(F(x))\exist x( F(x) )∃x(F(x)) 表示 有些学生去过 北京;
( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :
命题符号化 结果 :
① 个体域 :全总个体域
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x)F(x)F(x) : xxx 去过北京;2> G(x)G(x)G(x) : xxx 是某班级的学生;
③ 命题符号 :
∃x(F(x)∧G(x))\exist x ( F(x) \land G(x))∃x(F(x)∧G(x))
解析 :∃x(F(x)∧G(x))\exist x ( F(x) \land G(x))∃x(F(x)∧G(x))
1> 个体域分析 :个体域 为 全总个体域,那么 ∃x\exist x∃x 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物;
2> F(x)∧G(x)F(x) \land G(x)F(x)∧G(x) :可以 解读 为 存在某个事物,即是某班级的学生 , 有去过 北京;
3> 完整解读 :∃x(F(x)∧G(x))\exist x ( F(x) \land G(x))∃x(F(x)∧G(x)) ,可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京;
( 3 ) 当且仅当 转化问题
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :每个人有且只有一个好朋友
解答 :
命题符号化 结果 :
① 个体域 :所有的人
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x,y)F(x , y)F(x,y) : x,yx , yx,y 是好朋友;2> G(x,y)G(x, y)G(x,y) : x,yx , yx,y 相等;
③ 命题符号 一 :
∀x∃y∀z((F(x,y)∧¬G(y,z))→¬F(x,z))\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) )∀x∃y∀z((F(x,y)∧¬G(y,z))→¬F(x,z))
解析 :每个人仅有一个好朋友,此处 x,yx ,yx,y 已经是好朋友了,如果出现一个 zzz 与 yyy 不相等,那么 x,zx,zx,z 一定不是好朋友;
量词分析 :
对于所有的 xxx , 存在一个 yyy 是他的朋友 , 所有的 zzz 与 xxx 是好朋友 , 那么 这个 zzz 就是 yyy;
④ 命题符号二 :
∀x∃y∀z((F(x,y)∧F(x,z))→G(y,z))\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) )∀x∃y∀z((F(x,y)∧F(x,z))→G(y,z))
解析 :每个人仅有一个好朋友,如果 x,yx,yx,y 是好朋友,x,zx,zx,z 是好朋友,那么 y,zy,zy,z 肯定相等;
量词分析 :
对于所有的 xxx , 存在一个 yyy 是他的朋友 , 所有的 zzz 与 xxx 是好朋友 , 那么 这个 zzz 就是 yyy;
当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 :一定要引入 第三方 的变量;
2> 性质 或 关系 正向 推演 :一般模式是
① 对于所有的 xxx 与 存在的一个 yyy 有 某种性质或关系,
② 对于所有的 xxx 和 所有的 zzz 存在某种性质或关系 ;
③ yyy 与 zzz 具有相等的属性 ;
3> 性质 或 关系 反向推演 :一般模式是 :
① 对于所有的 xxx 与 存在的一个 yyy 有 某种性质或关系,
② yyy 与 所有的 zzz 有另一种性质 或 关系,一般是相等 或 不等 关系,
③ 可以推出 xxx 和 zzz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系;
( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化
题目 :
1.要求 :命题符号化 :2.命题内容 :并非所有的动物都是猫
解答 :
命题符号化 结果 ( 全程量词 ) :该方式 属于 正面解答;
① 个体域 :全总个体域 宇宙间一切事物
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x)F(x)F(x) : xxx 是 动物;2> G(x)G(x)G(x) : xxx 是 猫;
③ 命题符号 一 :
¬(∀x(F(x)→G(x)))\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )¬(∀x(F(x)→G(x)))
解析 :命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :
1> 提取否定 :把并非提取出来 为 ¬\lnot¬,否定的命题是 “并非所有的动物都是猫”;
2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 :即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质,这里符号化为 ∀x(F(x)→G(x))\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )∀x(F(x)→G(x));
3> 最终结果 :¬(∀x(F(x)→G(x)))\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )¬(∀x(F(x)→G(x))) ;
命题符号化 结果 ( 存在量词 ) :该方式 属于 侧面回答;
转化命题 :存在有的动物 不是猫 ;
① 个体域 :全总个体域 宇宙间一切事物
② 个体性质 或 关系 谓词定义 :
1> F(x)F(x)F(x) : xxx 是 动物;2> G(x)G(x)G(x) : xxx 是 猫;
③ 命题符号 一 :
∃x(F(x)∧¬G(x))\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )∃x(F(x)∧¬G(x))
∃x(F(x)∧¬G(x))\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )∃x(F(x)∧¬G(x)) 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;
