正则化方法：数据增强 regularization dropout

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过拟合 overfitting数据增强正则化项范数 normL1 正则 Lasso regularizerL2 正则 Ridge Regularizer / Weight DecayL1 与 L2 的差异Dropout

过拟合 overfitting

在训练数据不够多，或者模型过于复杂时，常常会导致模型对训练数据集过度拟合。

其直观的表现如下图所示：随着训练过程的进行，在训练集上的错误率渐渐减小，但是在验证集上的错误率却反而渐渐增大。

正则化技术是保证算法泛化能力的有效工具。

数据增强

数据增强是提升算法性能、满足深度学习模型对大量数据的需求的重要工具。数据增强通过向训练数据添加转换或扰动来人工增加训练数据集。数据增强技术如：水平或垂直翻转图像、裁剪、色彩变换、扩展和旋转通常应用在视觉表象和图像分类中。

正则化项

最基本的正则化方法，是在代价函数中添加惩罚项，对复杂度高的模型进行“惩罚”。正则化一般具有如下形式：

J(w,b)=1m∑i=1mL(y^,y)+λR(w)J(w,b)= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}L(\hat{y},y)+\lambda R(w)J(w,b)=m1​i=1∑m​L(y^​,y)+λR(w)

其中：

L(y^,y)L(\hat{y},y)L(y^​,y) 是经验风险项

λR(w)\lambda R(w)λR(w) 是正则项

λ≥0λ≥0λ≥0 为调整两者之间关系的系数

λλλ 值可以使用交叉验证的方法尝试一系列可能的值，比如从 0，0.01，0.02，0.04 … 开始，一直试下去，将步长设为2倍的速度增长。

常见的正则项有 L1L1L1 正则项 和 L2L2L2 正则项。

范数 norm

L1L_1L1​ 范数： ∣∣x∣∣1=∑i=1N∣xi∣||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|∣∣x∣∣1​=∑i=1N​∣xi​∣

即向量元素绝对值之和。

L2L_2L2​ 范数： ∣∣x∣∣2=∑i=1Nxi2||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}∣∣x∣∣2​=∑i=1N​xi2​​

即 Euclid范数（欧几里得范数），常用计算向量长度。

LpL_pLp​ 范数：∣∣x∣∣p=(∑i=1N∣xi∣p)1p||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}∣∣x∣∣p​=(∑i=1N​∣xi​∣p)p1​

即向量元素绝对值的 ppp 次方之和的 1/p1/p1/p 次幂

L1 正则 Lasso regularizer

J(w,b)=1m∑i=1mL(y^,y)+λ∣w∣J(w,b)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}L(\hat{y},y)+\lambda|w|J(w,b)=m1​i=1∑m​L(y^​,y)+λ∣w∣

L1正则化，是一个相对常用的正则化方法。

正则化目的：减少参数的绝对值总和。

L2 正则 Ridge Regularizer / Weight Decay

J(w,b)=1m∑i=1mL(y^,y)+12λw2J(w,b)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}L(\hat{y},y)+\frac{1}{2}\lambda w^2J(w,b)=m1​i=1∑m​L(y^​,y)+21​λw2

L2 正则化，可能是最常用的正则化方法了

正则化目的：减少参数的平方值总和。

系数 12\frac{1}{2}21​ 主要是为了后面的求导操作方便，加上 12\frac{1}{2}21​ 后，该式子关于 www 梯度就是 λw\lambda wλw 而不是 2λw2\lambda w2λw 了。

L2 正则化，可以直观理解为它对于大数值的权重向量进行严厉惩罚，倾向于更加分散的权重向量，使网络更倾向于使用所有输入特征，而不是严重依赖输入特征中某些小部分特征。

举个例子，假设输入向量 x=[1,1,1,1]x=[1,1,1,1]x=[1,1,1,1]，两个权重向量 w1=[1,0,0,0]，w2=[0.25,0.25,0.25,0.25]w_1=[1,0,0,0]，w_2=[0.25,0.25,0.25,0.25]w1​=[1,0,0,0]，w2​=[0.25,0.25,0.25,0.25]。那么 w1Tx=w2T=1w^T_1x=w^T_2=1w1T​x=w2T​=1，两个权重向量都得到同样的内积，但是 w1w_1w1​ 的 L2 惩罚是 1.01.01.0，而 w2w_2w2​ 的 L2 惩罚是 0.250.250.25。

因此，根据 L2 惩罚来看，w2w_2w2​ 更好，因为它的正则化损失更小。从直观上来看，这是因为 w2w_2w2​ 的权重值更小且更分散。既然 L2L2L2 惩罚倾向于更小更分散的权重向量，这就会鼓励分类器最终将所有维度上的特征都用起来，而不是强烈依赖其中少数几个维度。

在梯度下降时，使用 L2 正则化意味着所有的权重都以 www += - λ∗w\lambda *wλ∗w 向着 0 线性下降。

L1 与 L2 的差异

L1 与 L2 的差异：

假设个体 xxx 只有两个分量，则 www 也只有两个分量 w1，w2w1，w2w1，w2，将其作为两个坐标轴，对于目标函数：

J(w,b)=1m∑i=1m(yi−wTxi)2+λR(w)J(w,b)= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(y_i -w^Tx_i)^2+\lambda R(w)J(w,b)=m1​i=1∑m​(yi​−wTxi​)2+λR(w)

先绘出目标函数中 (yi−wTxi)2(y_i -w^Tx_i)^2(yi​−wTxi​)2 的平方误差项等值线（平方误差项取值相同的点的连线）。

再分别绘制出 L1 范数和 L2 范数的等值线。

目标函数的解，要在平方误差项与正则化项之间折中，即出现在图中的等值线交点处。

可发现采用 L1 范数时，平方误差等值线与正则化等值线的交点经常出现在坐标轴上，即 w1w1w1 或 w2w2w2 为 000 。

而采用 L2 范数时，交点经常出现在象限中，即 w1w1w1 和 w2w2w2 均不为 000，故采用 L1 正则化项更易得到稀疏解。

L1 与 L2 的使用：

由于 L1 正则化得到的是稀疏解，它会让权重向量在最优化的过程中变得稀疏（即非常接近0），使用 L1 正则化的神经元最后使用的是它们最重要的输入特征的稀疏子集。

相较 L1 正则化，L2 正则化中的权重向量大多是分散的小数字。

在实践中，如果不是特别关注某些明确的特征选择，一般说来 L2 正则化都会比 L1 正则化效果好。

Dropout

L1、L2 正则化是通过修改代价函数来实现的，而 Dropout 则是通过修改神经网络本身来实现的，它是在训练网络时用的一种技巧。

随机失活 （dropout）：

在训练网络时，对于完整的网络结构（如左图），每次迭代时，都让神经元以超参数 ppp 的概率被随机地停用（Dropout），即输出置为0，如右图。

在训练时，保持输入输出层不变，数据前向传播后，对得到的损失结果进行反向传播，更新神经网络中的权值时，不更新被停用的单元。

在预测时，不进行随机失活，但是神经元的输出都要乘以超参数 ppp，调整其数值范围。以 p=0.5p=0.5p=0.5 为例，在预测时神经元必须把它们的输出减半，这是因为在训练的时候它们的输出只有一半。

""" 普通版随机失活: 不推荐实现 """p = 0.5 # 激活神经元的概率. p值更高 = 随机失活更弱def train_step(X):""" X中是输入数据 """# 3层neural network的前向传播H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1)U1 = np.random.rand(*H1.shape) < p # 第一个随机失活遮罩H1 *= U1 # drop!H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2)U2 = np.random.rand(*H2.shape) < p # 第二个随机失活遮罩H2 *= U2 # drop!out = np.dot(W3, H2) + b3# 反向传播:计算梯度... (略)# 进行参数更新... (略)def predict(X):# 前向传播时模型集成H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1) * p # 注意：激活数据要乘以pH2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2) * p # 注意：激活数据要乘以pout = np.dot(W3, H2) + b3

反向随机失活（inverted dropout）：

相对于上述的随机失活，实际应用中更倾向使用反向随机失活（inverted dropout），它是在训练时就进行数值范围调整，从而让前向传播在测试时保持不变。

这样做还有一个好处，无论你决定是否使用随机失活，预测方法的代码可以保持不变。反向随机失活的代码如下：

""" 反向随机失活: 推荐实现方式.在训练的时候drop和调整数值范围，测试时不做任何事."""p = 0.5 # 激活神经元的概率. p值更高 = 随机失活更弱def train_step(X):# 3层neural network的前向传播H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1)U1 = (np.random.rand(*H1.shape) < p) / p # 第一个随机失活遮罩. 注意/p!H1 *= U1 # drop!H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2)U2 = (np.random.rand(*H2.shape) < p) / p # 第二个随机失活遮罩. 注意/p!H2 *= U2 # drop!out = np.dot(W3, H2) + b3# 反向传播:计算梯度... (略)# 进行参数更新... (略)def predict(X):# 前向传播时模型集成H1 = np.maximum(0, np.dot(W1, X) + b1) # 不用数值范围调整了H2 = np.maximum(0, np.dot(W2, H1) + b2)out = np.dot(W3, H2) + b3

Dropout 对过拟合的解决：

取平均的作用：

用相同的训练数据去训练 n 个不同的神经网络，一般会得到 n 个不同的结果，此时我们可以采用 n 个结果取均值去决定最终结果。

取均值策略通常可以有效防止过拟合问题。因为不同的网络可能产生不同的过拟合，取均值则有可能让一些 “相反的” 拟合互相抵消。

dropout 随机停用不同的隐层神经元，导致在每次迭代时都使用了不同的网络结构，就类似在训练不同的网络，整个 dropout 过程就相当于对很多个不同的神经网络取平均。

减少神经元之间复杂的共适应关系：

因为 dropout 程序导致两个神经元不一定每次都在一个 dropout 网络中出现。这样权值的更新不再依赖于有固定关系的隐含节点的共同作用，阻止了某些特征仅仅在其它特定特征下才有效果的情况，迫使网络去学习更加鲁棒的特征。