在图论中，由某个集合上的偏序得到全序的策略就是拓补排序算法。拓扑排序常出现在涉及偏序关系的问题中，例如时序的先后、事物的依赖等。针对这些问题拓扑排序通常能有效地给出可行解。
为了便于理解，我们先来看一个实例，开源软件常使用GNU make工具来管理项目的构建，这里的“项目”是由若干个“对象”构成的。Makefile文件则描述了这些“对象”的构建规则，即给出一系列对象间的依赖关系。若对象A依赖于对象B，则说明对象B必须先于对象A构建，否则构建将无法进行。make的任务就是合理安排各个对象构建的先后顺序，使得过程能顺利地完成。
作为例子，一个Makefile文件的内容如下：每行描述一个规则。例如第一行指明对象foo.o和bar.o必须先于target构建。
target: foo.o bar.o
foo.o: foo.c foo.h
bar.o: bar.c bar.h
我们先对问题进行数学转化。离散数学为我们描述对象间的关系提供了有力工具——偏序。令X为所有要研究的对象的集合。集合X上的一个关系R是偏序，当且仅当R满足自反性、对称性、传递性。
定义如下关系：xRy：x必须先于y被构建，即y依赖x，因为R满足偏序的性质，xRy也记为x≼y。到此我们成功地对问题进行了建模。接下来使用DAG来表示每个对象间的关系，图的每一个顶点表示一个对象、有向线段表示关系起点≼终点。
(图一)
如何合理布局各个对象的构建顺序，使得构建过程可以顺利地进行下去呢？一种直观的想法是：先选择不被其它对象依赖的作为第1个对象；再考虑第2个对象，它除了已选的第1个对象外，不应该被其它对象依赖；选择第n个对象，它除了前面已选的第1~n-1对象外，不能再被其它对象依赖。按照这个规则依次选出对象，即可保证构建过程顺利结束。
可以认为在DAG中，这种直观想法是正确的。这种策略的结果用下图描述，但是，这并不是真正的拓扑排序：
(图二)
问题在于，得到的图并没有反映排序结果，充其量不过把图重新摆了一个形态，而图所描述的关系并没有本质的改变。如何解决这一问题？这就要引入全序。从图中直观地看出，只有部分对象之间具有偏序关系，作为反例，bar.h与bar.c之间无偏序关系，因此R不是集合X上的全序关系。试想在图中，如果为每一对不能比较的对象，强制添加一个关系u≼v(或v≼u)，使得集合X中每两个对象都能建立关系，则R就成为了X上的全序关系，如图三所示。
(图三)
按照Hass图的顺序排列各个顶点得到图三，我们发现从最底部顶点bar.c出发，总有一条路径能走完所有顶点并到达最顶部顶点target，另一个重要的观察是，对于图中任意一对顶点u和v，若边∈Edges，则u在线性序列中出现在v之前，因此我们得到的结果拓扑有序。线性排列所有顶点，如下图所示：
这个结果便是原问题的拓扑排序。因为添加关系u≼v的方法不一定唯一，所以拓扑排序不一定唯一。但无论哪种情况，拓扑排序都满足一个关键的性质：没有一个节点指向它前面的节点，形式化地描述：对于图中的任意两个结点u和v，若存在一条有向边，则在拓扑排序中u一定出现在v前面。这条性质描述了拓扑排序的本质，为我们编写可行的算法提供了依据。
另外一些需要补充的定理是，有向图拓扑排序存在的充分必要条件是图为DAG(有向无环图)，这个结论用于判断问题是否有解，也可用于判断一个有向图是否有环。
算法的求解过程如下：首先统计所有顶点的入度。然后：
a.
寻找所有入度为0的顶点，追加到结果序列末尾并将其从图中移除，同时将其所有邻接顶点的入度减一。
b.
重复a，直到所有顶点都从图中移除。
算法结束时，所得结果序列便是最终答案。
对于任意一个可能带环的有向图，在寻找入度为0的顶点时，如果找不到，说明图的拓扑排序是不存在的，即问题无解。
上述的“移除”是逻辑层面的概念，具体实现中，我们不需要真正地将顶点从图中移除，因为某次a.中找到的入度为0的顶点只可能出现在上一次a.中入度被减一的顶点中。当a找到入度为0的顶点时，就会把它的邻接顶点的入度减一，这时便可以顺便统计入度减为0的顶点，下次a直接从这些入度为0的顶点开始，无需再从整个图中寻找入度为0的顶点。
最后通过一道UVa的题目来说明算法的具体实现：
UVa10305(Ordering Tasks)
题目大意
给出一堆任务，其中一个任务必须在它依赖的所有任务都完成后才能执行。已知任务之间的关系，求可能的执行顺序。
分析
思路与make的例子一致。这里使用vector存储邻接表，数组deg_in维护每个顶点的入度，队列que维护每趟中入度被减为0的顶点。
参考代码
#include #include
#define N 100+2
using namespacestd;static vectorcon[N];static intdeg_in[N];int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);intn,m;while((cin >> n >> m) &&n) {for(int i=1;i<=n;++i) {
con[i].clear();
deg_in[i]= 0;
}for(int i=0; i
cin>> a >>j;
con[a].push_back(j);++deg_in[j];
}//
//找出第一个度为0的顶点// queueque;
vectorans;for(int i=1; i<=n; ++i) {if (!deg_in[i]) {
que.push(i);
}
}//
//求排序中其它n-1个顶点// while(!que.empty()) {int u =que.front();
que.pop();
ans.push_back(u);for(size_t i=0; i
que.push(t);
}
}
}for(size_t i=0; i
cout<< ans[i] << (i==ans.size()-1 ? "" : " ");
}
cout<
}return 0;
}
