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关于“堆” 看看这篇文章就够了（附堆的两种应用场景）

时间：2024-04-04 22:34:14

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更多知识尽在此专栏中!

I am a great believer in luck, and I find that the harder I work, the more I have of it.我很相信运气，事实上我发现我越努力，我的运气越好。

文章目录

📘前言📘正文📖认识堆📖实现堆📃结构📃入堆📃出堆📃建堆算法 📖使用堆📃堆排序📃Top-K 问题 📖源码 📘总结

📘前言

堆（heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象，因此堆常常是通过数组的形式来实现的，不过堆在实现时必须遵守两个原则

要么是大根堆（大堆），要么是小根堆（小堆）堆总是一棵完全二叉树

堆在实现时的基本功能有入堆、出堆、查看堆顶元素及大小、判空等，不过堆通常不单独使用，常常是作为一种辅助结构来处理现实中的问题，比如堆排序和Top-K问题

可以把堆进行理想化处理，就比如下图中的谷堆，就是一个非常标准的堆

关于堆的详细介绍还得接着往下看，相信你在看完后能学到很多干货！

📘正文

📖认识堆

想要认识堆，就要清楚堆的两条原则

原则一：堆必须是大根堆（大堆）或者小根堆（小堆）
大根堆（大堆）：即堆中所有元素的父亲都要比自己大（除了堆顶元素，堆顶元素没有父亲）小根堆（小堆）：与大堆相反，堆中的所有元素的父亲都要比自己小（除了堆顶元素，堆顶元素没有父亲）
通俗来说，就是整个堆都要呈现出一种有序性，这种有序是纵向的有序，可以通过现实中的实际例子举例，假设小明今年18岁，而他有一个16岁的亲弟弟小黑，以及一个24岁的堂姐小红，那么此时小明的家谱可以表示如下
显然，小明的爷爷是 >> 其父亲 >> 自己的，而同层间的兄弟姊妹关系不讲究，纵向是绝对有序的，这不符合了堆的第一条原则吗？事实上，将上图规范化，就能得到一个堆的逻辑结构图

原则二：堆总是一棵完全二叉树
完全二叉树指二叉树的前n-1层是满的，最后一层可以不满，但是要求树的节点从左到右都是连续的（递增或相等），比如上图中的就是一棵完全二叉树，判断是否为完全二叉树的关键为节点是否连续

知道这两条原则后，堆就算是入门了，不过堆在计算机中并不是直接以完全二叉树的形式存储的，而是以这种形式[68, 40, 44, 18, 16, 24]，没错，堆的真实物理结构是数组，逻辑结构（完全二叉树）只是为了让我们更好的理解堆，因此我们在实现堆时，需要借助顺序结构，画图理解时，可以画成完全二叉树的形式

Tips：堆为何必须是完全二叉树？
因为完全二叉树是必然连续的，完美符合数组连续存储的特性可以避免不必要的索引浪费，这是提高效率的关键后续在取堆顶元素、入堆、出堆时也比较直观

📖实现堆

📃结构

堆底层是顺序表，因此在定义堆结构时，可以复用顺序表的代码（当然函数要改个名字）

typedef int HPDataType;//堆的元素类型typedef struct HeapInfo{HPDataType* data;//数据域int size;//堆的有效元素数int capacity;//堆的容量，方便后续进行扩容}HP;

堆的初始化、销毁、打印，非常简单，这里就不再做过多介绍，忘记的同学可以去看看我以前写的关于顺序表的文章

📃入堆

入堆前首先要先对数组容量进行检查，判断是否需要扩容，这也是个老朋友了，确认空间够大后，将目标数据插到堆底（完全二叉树末尾处），然后向上调整即可

检查容量可以判断size是否等于capacity堆底（完全二叉树末尾处）就是数组中size为下标的地方，插入成功后，size要+1size初始化时为0，因此size的值还表示当前堆中的有效元素数

堆的精髓在于向上调整和向下调整，学好了就能掌握堆了，因为堆的核心思想在于不断调整，首先介绍比较简单的向上调整

堆的向上调整，调整分为如下几步
假设当前插入的元素处（节点）为孩子，那么需要找到他的父亲节点，计算公式为parent = (child - 1) / 2通过所得到的父亲与孩子（都是下标），判断二者所代表的值大小，假设当前要建大堆，如果孩子比父亲大，那么就需要交换孩子与父亲的值，孩子变成父亲，向上更新父亲；如果不满足条件，则不需要进行调整，直接结束循环即可假设这个新插入的元素（节点）很大，甚至能直接取代堆顶元素（根节点），那么循环的条件就要设为孩子 > 0
简言之，向上调整的关键在于为新插入的元素找到合适的位置，使得堆满足原则一，所有父亲大于孩子（大堆），有点像打擂台，有能力的人就向上走，这里准备了一个动图，可以很好的展示这个过程

入堆及向上调整的代码如下

//向上调整，根据孩子找父亲void AdjustUp(HPDataType* pa, int n, int child){assert(pa);//大堆：父亲比孩子都大//小堆：父亲比孩子都小int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//大堆，孩子比父亲大，就调整//如果条件为假，说明此位置是合法的if (pa[child] > pa[parent]){Swap(&pa[child], &pa[parent]);child = parent;//孩子移动parent = (child - 1) / 2;//父亲更新}elsebreak;}}void HeapPush(HP* ph, HPDataType x)//入堆{assert(ph);//考虑扩容if (ph->size == ph->capacity){HPDataType newcapacity = ph->capacity == 0 ? 4 : ph->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(ph->data, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (!tmp){perror("realloc fail");exit(-1);}ph->capacity = newcapacity;ph->data = tmp;}//入堆，直接尾插，然后向上调整ph->data[ph->size++] = x;AdjustUp(ph->data, ph->size, ph->size - 1);}

注意：
在进行向上调整时，正确的找到孩子及其对应父亲是关键无论是左孩子还是右孩子，都可以通过parent = (child - 1) / 2来计算父亲交换值时，需要传地址，因为形参只是实参的一份临时拷贝代码中的交换函数很简单，这里没有展示调整的核心是为元素找到合适的位置（这个思想很重要）所谓合适的位置就是必须满足原则一，成为大堆或小堆

📃出堆

出堆，出的是堆顶元素，即下标为0处的元素，因为对于数组来说，头删是十分不利的，因此我们这里学要借助一个小技巧：

将堆顶元素与堆底元素交换，然后将size - -，这样就间接删除了原堆顶元素元素交换后，堆的整体有序性将被打破，此时需要借助向下调整函数来矫正堆

显然，这里的关键在于向下调整函数，与向上调整找父亲不同，向下调整是找大孩子或小孩子（对应大堆或小堆），在找孩子时还需要特别注意越界问题

向下调整的步骤
确认向下调整的父亲，这里是删除堆顶元素，所以父亲是0根据公式计算出目标孩子，假设左孩子为目标孩子，后续会进行判断验证左孩子的计算公式leftChild = parent * 2 + 1右孩子的计算公式rightChild = parent * 2 + 2左右孩子间隔为 1，判断验证起来也很容易判断左孩子是否为目标孩子，如果不是，child + 1修改为右孩子，是的话就用左孩子如果左孩子为最后一个孩子，那么此时进行判断验证是非法的，因为会涉及到越界问题，因此在判断验证前，需要先判断右孩子是否存在，即child + 1 < n判断当前孩子值与父亲值间的关系，假设建大堆，如果当前孩子值大于父亲值，那么就进行值交换，父亲变成孩子，重新假设目标孩子；如果不满足条件，跳出循环即可循环结束条件为child < n，当child >= n时，说明此时的父亲已经是当前堆中的最小父亲了（有孩子的才叫父亲）
向下调整比向上调整还麻烦，不过这东西的效率是极高的，后面介绍堆的应用场景时就明白了，向下调整核心仍然是为当前元素找到合适位置，不过因为孩子有两个，且他们之间的大小关系不明确，因此在确定孩子时需要多判断一下，同样的准备了动图，给大家看看演示下这个过程

向下调整逻辑是罗嗦了点，不过代码还是比较少的

void AdjustDown(HPDataType* pa, int n, int parent)//向下调整{assert(pa);//大堆，向下调整，需要找出大孩子，然后比较是否需要交换int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子为大孩子while (child < n){//必须有右孩子才能进行判断if ((child + 1) < n && pa[child + 1] > pa[child])child++;if (pa[child] > pa[parent]){Swap(&pa[child], &pa[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;//循环}elsebreak;}}void HeapPop(HP* ph)//出堆{assert(ph);assert(!HeapEmpty(ph));//出的是堆顶的元素//先把堆顶和堆底元素交换，然后向下调整Swap(&ph->data[0], &ph->data[ph->size - 1]);//交换ph->size--;//有效元素-1AdjustDown(ph->data, ph->size - 1, 0);//向下调整}

注意：
出堆的前提是有元素可出，因此多加了一个断言，调用了判空函数判空函数其实就是判断size是否为0交换是堆顶与堆底进行交换，然后size- -堆顶元素在0处，堆底元素在size - 1处向下调整时，先是假设左孩子为目标孩子，之后再进行判断验证当然，判断验证的前提是右孩子必须存在，因此条件child + 1 < n是不能少的向下调整的核心思想也是为元素找到合适的位置原则一，不能少

📃建堆算法

建堆算法是指直接传入一个数组，通过这个数组生成对应的大堆（小堆），建堆的步骤如下：

开辟一块足够大的空间，作为堆空间拷贝数组中的所有元素至新空间内通过两种不同的方式进行堆调整向上调整（效率低）向下调整（效率高）

推荐使用向下建堆，因为后续的堆排序和Top-K用的都是向下调整

向上调整建堆代码：

void HeapCreat(HP* ph, HPDataType* pa, int n)//构建堆{/** .2.19 修正* 原向上调整建堆存在 bug* 1、数据拷贝时存在漏拷贝的情况* 2、对已存在堆(无序)进行向上调整，需每次确认较大值，依次放入堆中，比较麻烦且容易出问题** 解决方案：遵循向上调整的思路，将 pa 中的元素依次入堆，每次入堆都进行调整，这样可以确保始终为大堆，且运行稳定* 注：在堆进行操作前，先要确保堆已初始化*///新解决方案assert(ph && pa);//断言HeapInit(ph);//确保堆已被初始化int pos = 0;while (pos < n){//入堆，入堆本身自带向上调整HeapPush(ph, pa[pos]);pos++;}}

向下调整建堆算法：

void HeapCreat2(HP* ph, HPDataType* pa, int n)//构建堆{//建堆有两种方式//1.向上调整//2.向下调整assert(pa);//开辟一块空间HPDataType* ptmp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);assert(ptmp);ph->data = ptmp;ph->size = ph->capacity = n;//将数据拷贝至开辟空间中memcpy(ph->data, pa, sizeof(HPDataType) * (n - 1));//向下调整，建堆算法int parent = (n - 1 - 1) / 2;for (int i = parent; i >= 0; i--)AdjustDown(ph->data, n - 1, i);}

关于堆的其他操作：取堆顶元素、当前堆的有效元素数、判断堆是否为空等，都是很简单的功能，基本逻辑和顺序表一样，忘记的可以去看看以前的博客

📖使用堆

有了堆我们可以干什么呢？

进行高效的排序和名次选拔

排序即堆排序，是一种效率极高的排序，与希尔、快排、归并等位于第一梯队，堆排序的核心在于向下调整，因为它的时间复杂度很低，因此整体排序效率就高；除了排序以外，堆还可以帮我们选出指定前K位数据，比如在10亿中找出最高的十个人，这就是Top-K问题

📃堆排序

堆排序，需要注意的是升序建大堆，降序建小堆，步骤如下：

假设求升序，先通过建堆算法建立一个大堆因为大堆中的堆顶元素总是最大的数，将这个数换到堆底（沉底）向下调整堆，重新选出次大的数（此时调整的范围 - 1）重复上述步骤，直到遍历数组大小 - 1次，最后一个数没必要比了

长话短说，堆排序运用了堆顶元素总是最大或最小值这一特点，将这个值沉到堆底，调整范围不断缩小，不断选出最大值或最小值，如此重复即可完成排序

void HeapSort(HPDataType* pa, int n)//堆排序{assert(pa);//升序，建大堆，降序，建小堆//注意：对数据进行排序，数组就是一个天然的堆，调整下就行了//均采用向下调整建堆int i = (n - 1 - 1) / 2;for (; i >= 0; i--)AdjustDown(pa, n, i);//大堆（升序），此时堆顶元素就是最大值，将其沉底，然后调整堆for (int i = 0; i < n - 1; i++){Swap(&pa[0], &pa[n - 1 - i]);//交换AdjustDown(pa, n - 1 - i, 0);//调整}}

注意
什么场景下用什么堆，这是很关键的事，一定要考虑清楚

📃Top-K 问题

Top-K问题就像是堆排序的变种，求最大的前K个数时，需要小堆，求最小的前K个数时，需要大堆。至于Top-K为何如此奇怪，还得先看看求解步骤：

假设求前K个最小的值，根据传入的K值，创建大小为K的堆将数组中的K个元素拷贝值堆中，然后调整建大堆从第K个元素开始（K是元素个数，对应下标 - 1），如果数组值小于此时的堆顶元素值（堆的最大值），就将这个数组值换至堆顶处，向下重新调整堆如此重复，直到将数据中的n-K个数组值遍历比较完

长话短说，Top-K 也是通过堆的特性：大堆顶为最大值，小堆顶为最小值，巧妙解决了需求。

举个例子，存在数组[3,5,1]，假设求最小的前两个数，建立大堆[5,3]，此时的数组值 1小于堆顶值 5，交换，调整，得到堆[3,1]，此时通过排序优化，就可以得到最小的前两个数1、3

原理：将大堆中的最大值不断刷掉，剩下的自然就是最小的K个数了不过在求出目标数后，不一定有序，需要稍微排下序

void TopK(HPDataType* pa, int n, int k)//TopK问题{assert(pa);//最大，小堆//最小，大堆HP h;HeapInit(&h);int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);assert(tmp);h.data = tmp;h.size = h.capacity = k;memcpy(h.data, pa, sizeof(int) * k);int parent = (k - 1 - 1) / 2;for (int i = parent; i >= 0; i--)AdjustDown(h.data, k, i);int i = k;while (i < n){//现在是大堆，比较条件是数组元素小于堆顶元素，取的是最小的前k个数if (pa[i] < h.data[0]){Swap(&pa[i], &h.data[0]);AdjustDown(h.data, k - 1, 0);}i++;现在是小堆，比较条件是数组元素大于堆顶元素，取的是最大的前k个数//if (pa[i] > h.data[0])//{//Swap(&pa[i], &h.data[0]);//AdjustDown(h.data, k, 0);//}//i++;}//排序一下，显示效果更好HeapSort(h.data, k);HeapPrint(&h);HeapDestroy(&h);}