二维随机变量
设试验E的样本空间为S={e}，而X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S={e}上的两个随机变量成为由这两个随机变量组成的向量(X(e),Y(e))为二维随机变量或者二维随机向量。
设(X,Y)为二维随机变量，对任意实数x,y，二元函数:
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或者称为随机变量X和Y的联合分布函数。
二维随机变量分布函数具有下列五条基本性质:
二维离散型随机变量
若二维随机变量(X,Y)的所有取值为有限对或者可列对(xi,yj)，i,j=1,2,…，则称(X,Y)是离散型随机变量。
记P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,…，则称它为二维离散型随机变量(X,Y)的（概率）分布律，或者称为X和Y的联合（概率）分布律。
分布律有两种常用的表示法：公式法和列表法。
这种分布律具有下面两种性质:
二维离散随机变量的联合分布
设（X，Y）是二维随机变量，x，y是任意实数，二元函数：
F(x,y)=P({X≤x∩Y≤y})=P(X≤x,Y≤y)，被称二维随机变量(X，Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数。
将二维随机变量（X，Y）看成是平面上随机点的坐标，分布函数F（x，y）在（x，y）处的函数值就是随机点（X，Y）落在如图以（x，y）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。
例如：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在中等可能地取一整数值。试求的分布律。
解：P(X = i) = 1/4, i = 1,2,3,4
根据联合分布率：P(AB)=P(A)·P(B|A)(乘法公式)：
P(XY) = P(X=i)·P(Y=j|x=i) = 1
联合分布函数
二维连续性随机变量
对二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y),使得对任意x,y有:
则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，记为(X,Y) ~ f(x,y) .
f(x,y)的性质(二元函数f(x,y)是二维连续型随机变量的概率密度的充要条件)：
联合分布函数、联合概率密度函数性质:
设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y),则：
(1) F(x,y) 是(x,y)的二元连续函数；
(2) 在的连续点处,有
(4)设G是平面上的某个区域，则
[注]这是计算概率，及求随机变量函数的分布的依据.
例如：
边缘分布
边缘分布函数：二维随机变量的X和Y都是随机变量，有各自的分布函数，记为，称为边缘分布函数：
二维离散型随机变量的边缘分布函数：
二维离散型随机变量的边缘分布率：
多维随机变量的边缘分布
多维随机向量(X1,X2,...,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,⋯,xn)
1 维边缘分布函数：比如关于 的 1 维边缘分布函数
2 维边缘分布函数：比如关于 的 2 维边缘分布函数
依次，多维随机变量可以有k,(1≤k<n)维边缘分布函数。
离散型随机变量有k 维边缘分布律，这里以 k=1 为例：
连续性边缘分布概率密度
连续型随机变量有k 维边缘概率密度，这里以 k=1 为例：
