第10章 推断统计学 10.1 随机数10.2 模拟 10.2.1 随机变量10.2.2 随机过程 几何布朗运动平方根扩散随机波动率跳跃扩散 10.2.3 方差缩减
第10章 推断统计学
Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记1
Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记2
Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记3
10.1 随机数
import numpy as npimport numpy.random as randomimport matplotlib.pyplot as plt# rand 函数返回开区间［O, 1 ）内的随机数,随机数的个数由参数指定random.rand(10)# array([ 0.43812444, 0.34411735, 0.23250114, 0.76714005, 0.20759936,# 0.70901672, 0.95422155, 0.08556689, 0.59033963, 0.84513443])random.rand(5, 5)# array([[ 0.95942423, 0.91671855, 0.33619313, 0.37931534, 0.59388659],# [ 0.84503838, 0.92572621, 0.57089753, 0.84832724, 0.6923007 ],# [ 0.0257402 , 0.73027026, 0.07831274, 0.85126426, 0.43927961],# [ 0.31733426, 0.0367936 , 0.26154412, 0.68299204, 0.06117947],# [ 0.3355343 , 0.72317741, 0.95397264, 0.91341195, 0.8424168 ]])# 如果想生成区间［5, 10 ）内的随机数， 可以这样转换 rand 的返回值a = 5.b = 10.random.rand(10) * (b - a) + a# array([ 7.72031281, 9.49373699, 7.26951207, 5.08434385, 7.07330462,# 5.5169059 , 7.93266969, 9.59174389, 7.55476132, 9.07963314])# 由于 NumPy 的广播特性， 这也适合于多维数组random.rand(5, 5) * (b - a) + a# array([[ 6.56262146, 6.58686089, 9.25527619, 7.36295298, 8.10034672],# [ 9.51719011, 8.79297476, 7.32629772, 8.85443737, 6.95337673],# [ 9.87850678, 8.87835651, 5.55394611, 9.09984161, 7.46512384],# [ 8.54888728, 8.34351926, 7.95810147, 6.20483389, 8.86515313],# [ 9.37562883, 5.81284007, 8.34719867, 6.14204529, 7.31620939]])
简单随机数生成函数
sample_size = 500rn1 = random.rand(sample_size, 3)rn2 = random.randint(0, 10, sample_size)rn3 = random.sample(size=sample_size)a = [0, 25, 50, 75, 100]rn4 = random.choice(a, size=sample_size)fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(7, 7))ax1.hist(rn1, bins=25, stacked=True)ax1.set_title(
and)ax1.set_ylabel(frequency)ax1.grid(True)ax2.hist(rn2, bins=25)ax2.set_title(
andint)ax2.grid(True)ax3.hist(rn3, bins=25)ax3.set_title(sample)ax3.set_ylabel(frequency)ax3.grid(True)ax4.hist(rn4, bins=25)ax4.set_title(choice)ax4.grid(True)
根据不同分布生成随机数的函数
虽然在金融学中使用（标准）正态分布遭到了许多批评 ， 但是它们是不可或缺的工具，在分析和数值应用中仍然是最广泛使用的分布类型。 原因之一是许多金融模型直接依赖于正态分布或者对数正态分布。 另一个原因是许多不直接依赖（对数）正态假设的金融模型可以离散化， 从而通过使用正态分布进行近似模拟。
sample_size = 500rn1 = random.standard_normal(sample_size) # 均值为0, 标准差为l的标准正态分布rn2 = random.normal(100, 20, sample_size) # 均值为 100 ， 标准差为 20 的正态分布rn3 = random.chisquare(df=0.5, size=sample_size) # 自由度为 0.5 的卡方分布rn4 = random.poisson(lam=1.0, size=sample_size) # λ 值为 1 的泊松分布fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(7, 7))ax1.hist(rn1, bins=25)ax1.set_title(standard normal)ax1.set_ylabel(frequency)ax1.grid(True)ax2.hist(rn2, bins=25)ax2.set_title(
ormal(100,20))ax2.grid(True)ax3.hist(rn3, bins=25)ax3.set_title(chi square)ax3.set_ylabel(frequency)ax3.grid(True)ax4.hist(rn4, bins=25)ax4.set_title(Poisson)ax4.grid(True)
10.2 模拟
蒙特卡洛模拟（MCS）是金融学中最重要的数值技术之一（在重要性和使用广泛程度上也许没有 “之一” ｝。这主要是因为它是最灵活的数学表达式（如积分）求值方法，特别适合于金融、衍生品的估值。 但是，这种灵活性的代价是相对高的计算负担，估算一个值就可能需要数十万次甚至数百万次复杂计算。
10.2.1 随机变量
我们考虑期权定价所用的Black-Scholes-Meron设置。这种设置中，在今日股票指数水平 S0 S 0 给定的情况下，未来某个日期T的股票指数水平 ST S T
公式：以Black-Scholes-Merton设置模拟未来指数水平
ST=S0exp((r−12σ2)T+σT−−√z) S T = S 0 e x p ( ( r − 1 2 σ 2 ) T + σ T z )
ST S T ：T日的指数水平
r ：恒定无风险短期利率
σ σ ：S的恒定波动率（= 收益率的标准差）
z：标准正态分布随机变量
import numpy as npimport numpy.random as randomimport matplotlib.pyplot as pltS0 = 100 # initial valuer = 0.05 # constant short ratesigma = 0.25 # constant volatilityT = 2.0 # in yearsI = 10000 # number of random drawsST1 = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * random.standard_normal(I))plt.hist(ST1, bins=50)plt.xlabel(index level)plt.ylabel(frequency)plt.grid(True)
( 通过 standard_normal ) 模拟的几何布朗运动
随机变量呈对数正态分布。因此 ， 我们还可以尝试使用 lognormal 函数直接得出随机变量值。在这种情况下，必须向函数提供均值和标准差：
ST2 = S0 * random.lognormal((r - 0.5 * sigma ** 2) * T, sigma * np.sqrt(T), size=I)plt.hist(ST2, bins=50)plt.xlabel(index level)plt.ylabel(frequency)plt.grid(True)
( 通过 lognormal ) 模拟的几何布朗运动
使用 scipy.stats子库和下面定义的助手函数 print_statistics 比较模拟结果的分布特性：
import scipy.stats as scsdef print_statistics(a1, a2):"""Print selected statistics"""sta1 = scs.describe(a1)sta2 = scs.describe(a2)print(\%14s %14s %14s % (statistic, data set 1, data set 2))print(45 * -)print(\%14s %14.3f %14.3f % (size, sta1[0], sta2[0]))print(\%14s %14.3f %14.3f % (min, sta1[1][0], sta2[1][0]))print(\%14s %14.3f %14.3f % (max, sta1[1][1], sta2[1][1]))print(\%14s %14.3f %14.3f % (mean, sta1[2], sta2[2]))print(\%14s %14.3f %14.3f % (std, np.sqrt(sta1[3]), np.sqrt(sta2[3])))print(\%14s %14.3f %14.3f % (skew, sta1[4], sta2[4]))print(\%14s %14.3f %14.3f % (kurtosis, sta1[5], sta2[5]))print_statistics(ST1, ST2)#statisticdata set 1data set 2# ---------------------------------------------# size10000.00010000.000# min 28.691 28.718# max 497.050 438.493# mean 110.298 111.023# std 40.380 40.577# skew1.1451.156# kurtosis2.6682.428
两个模拟结果的特性很类似， 差异主要是由于模拟中的所谓采样误差。在离散地模拟连续随机过程时会引人离散化误差， 但是由于模拟方法的特性，这种误差在此不起任何作用。
10.2.2 随机过程
粗略地讲， 随机过程是一个随机变量序列。在这个意义上， 我们应该预期， 在模拟一个过程时， 对一个随机变量的一序列重复模拟应该有某种类似之处。 这个结论大体上是正确的 ，但是随机数的选取一般不是独立的？而是依赖于前几次选取的结果。 不过，金融学中使用的随机过程通常表现出马尔科夫特性——主要的含义是：明天的过程值只依赖于今天的过程状态， 而不依赖其他任何 “历史” 状态． 甚至不依赖整个路径历史。 这种过程也被称做 “无记忆过程”。
几何布朗运动
现在我们考虑Black-Scholes-Merton模型的动态形式，这种形式由下面公式中的随机微分方程（SDE）描述。式中的 Zt Z t 是标准布朗运动，SDE 被称作几何布朗运动。 St S t 的值呈对数正态分布，（边际）收益 dSt/St d S t / S t 呈正态分布。
公式 Black-Scholes-Merton设置中的随机微分方程
dSt=rStdt+σStdZt d S t = r S t d t + σ S t d Z t
SDE可以由一个欧拉格式精确地离散化， 下面公式中介绍了一个这样的格式， 其中 Δ
