目录

一、前言

二、样本均值分布

三、中心极限定理

*****中心极限定理

***大数定理与中心极限定理有什么区别？

四、正态（概率）分布

一、前言

我发现很多人学了很久的统计学，很多总是概念混淆，那今天我们来盘一盘统计推断基础的三个基本概念：样本均值分布、中心极限定理、正态分布。这个系列统计推断基础5部分分别是：

总体、样本、标准差、标准误：【定量分析、量化金融与统计学】统计推断基础（1）---总体、样本、标准差、标准误 样本均值分布、中心极限定理、正态分布点估计、区间估计假设检验I型误差，II型误差

重点在基础概念，基础不牢，地动山摇，不关你是做研究还是本科基础学习阶段，基础都是很重要的。

二、样本均值分布

上次我们说了什么是样本，什么是抽样。

那么这次首先从样本的均值分布开始：

那么我们现在有这样一个例子：

赛艇队由4名体重分别为152,156,160和164磅的桨手组成。找出所有替补队员的可能随机样本，并计算每个样本的样本均值。

那么我们看到有16种可能的样本：

我们求出每一个样本的均值，并将样本均值按照数量统计出来，查看这些样本均值是如何分布的。

那么这些样本均值是如何分布的呢？

我们用直方图看一看：

注意：这个是可能的样本分布的概率。

那么其实样本的均值分布，就是你抽样之后每个样本的均值的分布情况。

那么我们再看一个例子，一个数字库里面只由0,1两个数字组成，我们进行抽样，看一看可能的所有样本的概率分布：

那么随着抽样次数的增多，我们会发现：

在下方和上方的概率会缩小，而中间的概率相对于它们会变大。如果我们继续增加n，那么抽样分布的形状会变得更平滑，更钟形。

那么，我们就引出了中心极限定理。

三、中心极限定理

*****中心极限定理

一般来说，总体可以从任意一个分布开始，但随着抽样样本容量的增加，样本均值的抽样分布将越来越像钟形正态曲线。这就是中心极限定理的内容。

你的总体分布可以是一个直线，驼峰曲线，过山车曲线，等等，但是随着我抽样样本增加，他总会稳定在正态曲线。

那么这有什么用处呢？

用处太大了，你没发现，中心极限定理给了你一把统计学的利刃，那就是，你可以忽视这些数据原本总体的分布情况。也就是说，你可以在不知道源数据的分布情况的下进行抽样，因为反正他最后都会服从正态分布。这是很重要的，因为在现实生活中，你不可能对你统计的总体数据分布有详细的了解，那你的抽样为什么科学呢？因为他们经过抽样，都会收敛到正态分布。

注意，中心极限定理作用的是拥有均值的分布，为了使中心极限定理能够起作用，我们必须能够计算出样本的平均值。但是注意有一个分布称为柯西分布，没有样本均值，从而中心极限定理论并不适用于它。

***大数定理与中心极限定理有什么区别？

我个人的理解：

大数定理：当实验进行无数次后，所有结果的平均值稳定在某一个值，也就是最终均值收敛了。（我们可以理解为：你在进行单样本抽样，然后你一直扩充这个样本，比如总体有10亿个铅笔，你这个样本里面随机选了9亿9000万个个体，那么随着个体数的增加，这个样本的均值也趋于稳定）

中心极限定理：无数次试验后，所有样本的平均值分布是正态的，也就是说你每一个样本里面有多少个个体我不管，但是我要抽很多次，这些样本的均值逐渐收敛到正态分布。（我们理解为：总体有10亿个铅笔，我每次抽100个作为一个样本，我抽了100亿次，随着你抽样次数的增加，样本的均值分布逐渐稳定收敛）

四、正态（概率）分布

描述连续随机变量最有用的概率分布之一是正态概率分布。

正态分布为钟形曲线：

定义正态分布钟形曲线的概率密度函数为:：

正态分布的特征：

整个正态分布族由两个参数:均值μ和标准差σ来区分正态曲线上的最高点在均值处，均值也是分布的中位数和众数分布的平均值可以是任何数值:负的、零的或正的正态分布是对称的，均值左边的正态曲线的形状是均值右边的正态曲线形状的镜像曲线的尾部在两个方向上都无限延伸，理论上永远不会接触水平轴标准偏差决定了正态曲线的平坦程度和宽度;标准差越大，曲线就越宽、越平，数据的变异性就越大

在一些常用的区间中值的百分比为:

【定量分析 量化金融与统计学】统计推断基础（2）---样本均值分布 中心极限定理 正态分布