编者按
《静待花开——百名特级谈育人智慧》(上、下)由上海市特级教师特级校长联谊会与上海教育杂志社主编，在上海教育丛书编委会的大力支持下，于8月由上海教育出版社出版。该书是继《师道匠心》、《修炼》后，又一部凝结着特级教师特级校长们教育心得的集体力作。从“育人”的维度倾情讲述的一个个故事，正是他们对育人的思考、践行与提炼。智慧育人，润物无声。静待花开，师生共同慢慢成长。本公众号撷取其中的精彩篇章，以飨读者。
李秋明，1985年参加教育工作。上海市数学特级教师，正高级教师。毕业于上海师范大学数学系。现任复旦大学附属中学数学教研组组长，兼任上海市教师学研究会数学专业委员会主任、上海市教育学会中小学数学专业委员会委员、上海市数学会理事、上海市普教系统高级教师评审委员会委员、复旦大学高等教育研究所特聘教授、中国数学奥林匹克高级教练员。曾任上海市“双名工程”中学数学基地主持人。主编及参与编写《讲台上的舞者》等多部专著，发表《数学教育是培养理性思维的素质教育》等多篇教学论文。
如何体现学科教育的育人价值，已经成为大家共同探究的热点问题。作为数学教师，自然要问，落实数学学科育人价值的途径与方法是什么呢？事实上，数学教育中通过数学文化的渗透来体现育人，已是一定程度上的共识，无论是课程标准还是各版教材，都对数学文化在教育中的落实提出了一定的要求。但数学文化如果仅仅停留在章首或章尾的数学史、中外数学家贡献等的介绍，无疑会使学生和教师产生数学文化只是数学教育过程中的附加物的感觉，似乎是可有可无的。因此我们应该开拓思路，探究更有效的数学文化在教育过程中自然渗透的途径与方法。
在汉语中，“文化”的本义就是“以文教化”或“以文化人”，它是对人的性情的陶冶、品德的培养。数学作为科学思考与行动的基础，其中所蕴含的理性精神，是公认的、无可辩驳的世界文化。那么她的文化属性究竟是什么？又如何在教育中体现呢？美国数学家怀尔德率先提出了数学作为文化体系的数学哲学观。他强调了数学的发展动力、发展规律、思维方式等文化内涵。我们可以理解为，数学文化涵盖人类在数学活动中所积累的创造成果和思维感悟。因此在数学教育中，数学概念、数学命题探究、发现与发展的过程，数学论证严谨、规范的要求，数学语言精准、简练的特征，数学描述客观世界的方式等，都是数学文化的体现，也都是渗透数学文化的有机载体。由此可见，数学教育中的文化渗透可以自然地贯穿于整个数学的教学过程，不是可有可无的附加物。
感受数学的严谨，凸显数学文化的特征
不少数学学习者对数学的严谨并不十分理解。有时他们会觉得，这一看就知道是对的事情，为何还要花力气花时间去论证？这里的原因或许就是我们的数学教学并没有很好地做到使学习者感受并理解数学理性严谨的文化。数学的严谨并非故弄玄虚，而是人类探究客观世界过程中的必然。先哲们发现直观并不可靠，仅凭人的直观会产生各式各样的错误。比如，直观告诉我们太阳东升西落，因此是太阳绕着地球转。当然这是不对的。如果将绕地球赤道一周的绳子每处都提高到离地面1米处，绳子需要增加多少米？严格运算的结果(只需增加2π≈6.28米)可能与我们直观想象有巨大差异。再比如我们知道两个有理数的算术平均数还是有理数，那么考察数轴上0到1这一段线段，0和1所对应点的中点是有理数，这三个有理点又可以产生另两个新的中点，就得到了五个有理点，再继续下去又可以增加到九个有理点，……，此过程可以无限制地一直进行下去。直观可能会告诉我们，这样一直做下去可以覆盖这一线段上所有的点，但事实却远非如此。正是因为人类的直观和经验很多时候存在偏差和谬误，先哲们才历经曲折创造了公理化体系，创造了演绎推理。也正是因为数学的理性与严谨，数学才成为自然科学的基础。因此只有在教学中帮助学生真切地感受到严谨的必要性，才能使他们不惧怕数学的严谨，真正地感受数学的理性，进而拥抱数学的理性文化。要做到这一点，关键是要善于在教学内容和学生作业等环节发现合适的案例。这就需要数学教师能深刻把握教学内容，了解学生困惑，理解数学理性文化，自觉成为数学理性文化的传播者。
数学中的论证是最显然的体现数学严谨的素材，除此之外，数学的严谨还可以如何体现呢？例如在反函数的教学中，对于求得的x=f-1(y)，为什么要对换x、y，变为y=f-1(x)？事实上这与背后隐藏的另一个问题有关，即函数的表达方式。初等数学中函数的表达方式有三种，即解析式法、图像法和列表法。其中图像法成为函数的表示方式是有默认的约定的，即横轴作为自变量轴，纵轴作为因变量轴。否则大家不按约定随意画，就可能造成不同的函数图像是一样的，相同的函数图像却是不同的。这就违背了数学的精确与严谨，就不可能成为函数的表示方式。由此可见，数学的严谨并非只能用“证明”来体现，数学的任何一个环节都必须建立在严谨的基础之上，因而数学严谨的体现是全方位的。所以教师在传授知识的同时，要关注每一个数学知识点背后的逻辑关系，引导学生去经历数学定义、概念发生、发展的过程，体会这些知识、方法背后的道理，相信严谨与理性一定会成为学生的自觉，数学的理性文化的传播就能自然渗透在教学的每一个环节中。
追寻数学的简洁，领悟数学文化的美丽
在初等数学教学中，如何能更贴近学生实际，帮助他们感受到数学的简洁呢？事实上，数学处理问题的基本思路之一就是“化简”，因此可以说数学教学中遍布这样的育人素材。
如初中数学中“图形的运动”这一教学内容就是很好的例子。教材中有“图形的平移”“图形的旋转”和“图形的翻折”三种图形变换。遗憾的是教学中甚少有教师将这三种变换联系在一起，引领同学作总体思考与分析，也就错失感悟数学简洁美的机会。这里可以思考这样的问题：为什么教材中讲这三种变换？有没有第四种？只讲两种行不行？事实上，在平面中要使两个全等的图形重合，仅有“图形的平移”和“图形的旋转”是不一定能做到的，但有这三种变换的组合就一定可以做到。即仅有“平移”和“旋转”这两种变换是不够的，同时也无须第四种变换就足以做到使平面中任何两个全等的图形重合。虽说两次“翻折”可以代替“平移”或“旋转”，但“平移”和“旋转”都比两次“翻折”简单得多。因此这里蕴含了这样一种思想：用这三种变换或其部分的组合，可以最简洁地达成任何平面图形的合同(全等)变换。
在函数的教学中，同样蕴含着数学的简洁思想。比如，在初等数学中并不着重去研究形如y=ax+bcx+d(c≠0且ad≠bc)的函数，这是因为这一类函数都可以通过变换化归为更基本的反比例函数的问题。再如二次函数研究中，最本质的思路就是通过配方，将二次函数化为y=a(x-h)2+k(a≠0)这样的形式，通过平移变换将问题化归到相对简单的y=ax2(a≠0)，再进一步变换，化归为最简单的二次函数y=x2，将复杂问题简单化。其他类型函数的研究思路也基本上是通过变换和运算，将问题化归到简单的函数，达到规范与简化的作用。数学分析中首先研究“基本初等函数”就是这一思想的充分体现。
将复杂问题简单化，用已知去刻画未知，是数学解决问题的基本思路。如果我们在教学中充分挖掘并合理利用这样的素材，那就可以在极小的时间成本下，使学生能宏观地感受并理解数学“化简”处理问题的思路，就能在掌握知识的同时，体验“大道至简”的数学文化。
体验数学与现实的联系，理解数学文化的真谛
虽说在日常生活中，我们未必能时时都感受到数学的作用，但数学是所有自然科学的基础是公认的事实，甚至人文科学的研究也会用到数学的思想与方法。碍于技术应用的复杂性，很多数学的应用超越了初等数学的范畴，因而在初等数学的学习过程中，真实的、有说服力的数学应用案例较少。那么如何帮助学生感受数学与现实的联系呢？除了寻找学生能理解的数学应用于实际的例子外，在教学实践中我们还发现，数学中解决问题的思想方法在现实世界的反映，同样能体现数学与现实的联系。
例如在极坐标的学习中，学生发现在直角坐标系下，点与坐标是一一对应的，但在极坐标系中，点与坐标不是一一对应的，一个点可以有不同的坐标。学生自然会产生这样的问题：极坐标系下点的坐标为什么可以不唯一？一个坐标所对应的点是不是也可以不唯一？我们知道极坐标系下点的坐标可以不唯一，但一个坐标所对应的点却必须是唯一的。那么道理何在？如何使学生理解并认同呢？事实上，数学上的道理和现实世界的道理是相通的，这些规定并不奇怪，我们可以在现实生活中找到类似的道理。比如在一个班级中，若有两个同学同名同姓，或者即便是读音相近，若不加区分，在一定程度上会引起教学上的混乱。因此有经验的教师就会想办法解决，如加上学号，用5号张三和6号张三来区分，即一个姓名只能对应一位同学才不会有问题。但是反之，一个学生可以有不同的称呼，如学名、昵称等却并不会出问题。这里的本质就是，若一个符号对应的主体不唯一，会引起混乱，但是一个主体对应的符号不唯一却是可以接受的。因此极坐标系中，坐标与点的这个规定是有道理的，并且这个道理还具有普适性，可以在现实生活中找到相通的场景。
因此数学并不是孤芳自赏的思维游戏，她与现实有着不可分割的联系，这些联系不仅体现在数学直接解决现实世界中的问题，还体现在数学的思维方式在现实世界中的应用与体现。在用初等数学直接解决现实问题比较困难的情况下，努力体现数学思维方式的普适性无疑是落实数学文化的有效手段。
数学文化博大精深，限于篇幅更限于作者的眼界，这里只能抛砖引玉地提出一些思考与实践，希望和广大同仁们一起努力，使数学教育浸润在数学文化中，在数学文化的渗透中达到育人的目的。
