科赫曲线和谢尔宾斯基三角形是常见的分形图形（详细介绍见参考文献1），本文使用turtle库绘制这两类图形。
科赫曲线
科赫曲线的详细介绍见参考文献2，其中的绘图思路是“画正三角形，并把每一边三等分,取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉,重复上述两步，画出更小的三角形。”考虑到绘制完三角形再处理每条边的话，使用turtle的绘制函数不便于计算坐标，于是调整为绘制每条边时都将其三等分，只处理要显示的前后两个子边，重复该过程至指定的迭代次数（看下面录制的绘图动画比较直观）。最终的绘图代码及绘图效果如下所示。
from turtle import *def Kohn(length, n):if n==0:forward(length)else:thirdLen=length/3Kohn(thirdLen, n-1)right(60)Kohn(thirdLen, n-1) left(120)Kohn(thirdLen, n-1) right(60)Kohn(thirdLen, n-1) screensize(600,400)tracer(0, 0)penup()goto(-180,-90)pendown()Kohn(360,8)left(120)Kohn(360,8)left(120)Kohn(360,8)left(120)hideturtle()exitonclick()
谢尔宾斯基三角形
参考文献3中介绍的谢尔宾斯基三角形的画法有去掉中心法、Chaos Game法和L系统，本文中采用Chaos Game法绘制。最初采用参考文献3中的构造方法绘图，绘图代码及绘出的图形如下所示（判断点是否在三角形内的代码来自参考文献4）。：
def Sierpinski_1(x1,y1,x2,y2,x3,y3):maxX=max((x1,x2,x3))minX=min((x1,x2,x3))maxY=max((y1,y2,y3))minY=min((y1,y2,y3)) rx=random.randint(minX+1,maxX-1)ry=random.randint(minY+1,maxY-1)while(not IsInside(x1,y1,x2,y2,x3,y3,rx,ry)):rx=random.randint(minX+1,maxX-1)ry=random.randint(minY+1,maxY-1)tmp=((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))[random.randint(0,2)]mx=(tmp[0]+rx)/2my=(tmp[1]+ry)/2penup() goto(mx-1,my)pendown()right(90)circle(1)left(90)screensize(600,400)tracer(0, 0)x1=-250y1=-150x2=150y2=-150x3=0y3=100for i in range(0,5000): Sierpinski_1(x1,y1,x2,y2,x3,y3)hideturtle()
估计应该是绘图思路不对，百度谢尔宾斯基三角形的混沌游戏画法，发现步骤都大致相同，但重复的步骤不一致，最终基于参考文献5-6中的介绍，调整绘图思路为：
1、随机生成三个点A,B,C，组成三角形；
2、随机生成三角形的一点P；
3、绘制点P，同时计算P与A,B,C中任意一点的中点，并将中点坐标赋予P；
4、重复步骤3。
基于上述步骤，重新调整代码，绘图代码及绘图效果如下：
def Sierpinski_2(x1,y1,x2,y2,x3,y3,n):maxX=max((x1,x2,x3))minX=min((x1,x2,x3))maxY=max((y1,y2,y3))minY=min((y1,y2,y3)) px=random.randint(minX+1,maxX-1)py=random.randint(minY+1,maxY-1)while(not IsInside(x1,y1,x2,y2,x3,y3,px,py)):px=random.randint(minX+1,maxX-1)py=random.randint(minY+1,maxY-1)penup()goto(px-1,py)pendown()right(90)circle(1)left(90)points=((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))for index in range(0,n):tmp=points[random.randint(0,2)]px=(tmp[0]+px)/2py=(tmp[1]+py)/2penup() goto(px-1,py)pendown()right(90)circle(1)left(90)screensize(600,400)tracer(0, 0)x1=-250y1=-150x2=150y2=-150x3=0y3=100Sierpinski_2(x1,y1,x2,y2,x3,y3,5000)hideturtle()
最后是一个完成的随机版谢尔宾斯基三角形绘制代码
from turtle import *import randomdef IsTrangleOrArea(x1,y1,x2,y2,x3,y3):return abs((x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2)) / 2.0)def IsInside(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x,y): ABC = IsTrangleOrArea(x1,y1,x2,y2,x3,y3)PBC = IsTrangleOrArea(x,y,x2,y2,x3,y3)PAC = IsTrangleOrArea(x1,y1,x,y,x3,y3)PAB = IsTrangleOrArea(x1,y1,x2,y2,x,y) return (ABC == PBC + PAC + PAB)maxX=max((x1,x2,x3))minX=min((x1,x2,x3))maxY=max((y1,y2,y3))minY=min((y1,y2,y3)) px=random.randint(minX+1,maxX-1)py=random.randint(minY+1,maxY-1)while(not IsInside(x1,y1,x2,y2,x3,y3,px,py)):px=random.randint(minX+1,maxX-1)py=random.randint(minY+1,maxY-1)penup()goto(px-1,py)pendown()right(90)circle(1)left(90)points=((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))for index in range(0,n):tmp=points[random.randint(0,2)]px=(tmp[0]+px)/2py=(tmp[1]+py)/2penup() goto(px-1,py)pendown()right(90)circle(1)left(90)width=600height=400screensize(width,400)tracer(0, 0)x1=random.randint(1-width/2,width/2-1)y1=random.randint(1-height/2,height/2-1)x2=random.randint(1-width/2,width/2-1)y2=random.randint(1-height/2,height/2-1)x3=random.randint(1-width/2,width/2-1)y3=random.randint(1-height/2,height/2-1)Sierpinski_2(x1,y1,x2,y2,x3,y3,5000)hideturtle()exitonclick()
参考文献
[1]/item/%E5%88%86%E5%BD%A2/85449?fr=aladdin
[2]/item/%E7%A7%91%E8%B5%AB%E6%9B%B2%E7%BA%BF/7090673?fromModule=lemma_inlink
[3]/item/%E8%B0%A2%E5%B0%94%E5%AE%BE%E6%96%AF%E5%9F%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2?fromModule=lemma_inlink
[4]/mxw322/article/details/56026607
[5]/p/103610498?utm_source=wechat_session&ivk_sa=1024320u
[6]/index.php?title=%E8%B0%A2%E5%B0%94%E5%AE%BE%E6%96%AF%E5%9F%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
