拓扑排序

有向无环图一定是拓扑序列,有向有环图一定不是拓扑序列。

无向图没有拓扑序列。

首先我们先来解释一下什么是有向无环图：

有向就是我们两个结点之间的边是有方向的，无环的意思就是整个序列中没有几个结点通过边形成一个圆环。

下图就是一个有向无环图，它也一定是拓扑序列。

下图就是有向有环图：

拓扑序列：

首先我们引入度的概念：

对于有向图每个结点都有入度和出度，入度就是指向该结点的边数，出度就是该结点指向其他结点的边数。

如第一个图：

A的入度为0，出度为2；

B的入度为1，出度为1；

C的入度为1，出度为1；

D的入度为2，出度为0；

总结一下拓扑排序就是只有从前指向后的边，没有从后指向前的边。

如果是一个有向无环图，那么一定有一个点的入度为0，如果找不到一个入度为0的点，这个图一定是带环的。

拓扑排序满足：每条边(x,y)，x在序列中都在y前面。

拓扑排序的思路：

一个有向图，如果图中有入度为 0 的点，就把这个点删掉，同时也删掉这个点所连的边。

一直进行上面出处理，如果所有点都能被删掉，则这个图可以进行拓扑排序。

我们画图来解释一下：

首先我们的有向无环图是这样的：

我们发现A的入度为0，那么A就可以作为源点（不会有边在它前面），然后删除A和A上所连的边，如下图：

然后我们发现B和C的入度都是0，那么同样删除B，C和B，C上所连的边，如下图：

然后D的入度为0，我们同样操作，最后图被删除干净，证明可以拓扑排序。

解题思路

首先记录各个点的入度

然后将入度为 0 的点放入队列

将队列里的点依次出队列，然后找出所有出队列这个点发出的边，删除边，同时边的另一侧的点的入度 -1。

如果所有点都进过队列，则可以拓扑排序，输出所有顶点。否则输出-1，代表不可以进行拓扑排序。

我们先来看一下拓扑排序的模板：

时间复杂度 O(n+m), n表示点数，m表示边数。

bool topsort(){int hh = 0, tt = -1;// d[i] 存储点i的入度for (int i = 1; i <= n; i ++ )if (!d[i])q[ ++ tt] = i;while (hh <= tt){int t = q[hh ++ ];for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (-- d[j] == 0)q[ ++ tt] = j;}}// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。return tt == n - 1;}

我们来看一下练习题：

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=1e5+10;int h[N],e[N],ne[N],idx; //邻接表存储图int n,m; //n个点，m个边int q[N],d[N];//q表示队列,d表示点的入度void add(int a,int b){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;}bool topsort(){int hh=0,tt=-1;for(int i=1;i<=n;i++){if(!d[i])//如果i这个点的入度为0，那么我们就入队q[++tt]=i;}while(hh<=tt) //如果队列不为空{int t=q[hh++];//用t来接收队头的元素，同时队头指针hh++；for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])//我们来从t结点开始遍历它的边{int j=e[i];//t有一条边指向jd[j]--;//删除掉t指向j的这条边，j的入度-1；if(d[j]==0) //如果j的入度为0，那么我们就将j入队q[++tt]=j;}}return tt==n-1;//表示如果n个点都入队了话,那么该图为拓扑图,返回true,否则返回false//我们的tt初始值是-1，当插入一个值的时候tt先++在插入，所以我们一个有n个结点，全部入队的话tt指针应该是n-1；}int main(){cin>>n>>m;//保存点的个数和边的个数memset(h,-1,sizeof(h));//初始化邻接表for(int i=0;i<m;i++)//我们一共有m个边，所以我们循环插入边{int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);add(a,b);d[b]++;//插入的边是由a指向b的，所以b的入度++；}if(topsort()){for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",q[i]);puts("");}elseputs("-1");return 0;}