背景知识
数字可以分为两大部分：
不可再分的数：prime number质数
可以再分的数：composite number 和数
每个数字可以描述为一个“锁”
每个数字有且只有一种质因数分解，把质因数分解看做是“钥匙”，任何两个数的质因数分解都不同。
对于锁，有一个基本的要求：朝一个方向容易，朝反方向难。one-way function单向函数。
在数学中，模算术（时钟算术）就是一个单向函数 X MOD P，如果P选择为质数，那么其值会在时钟上（1到P-1上）等可能均匀分布。
正向计算3x3^x3x mod 17=？很容易
反向计算3?3^?3? mod 17 = 12不容易，比如说P选择一个数百位的质数，那么想求出？只能采用试错法。
DH密钥交换算法
密钥交换算法Diffle-Hellman算法。使用以下几个步骤进行：
卡管系统与POS机就质模数P，这里选择17和生成元3达成一致，这个是所有人都可以知道的。
卡管选择一个私有随机数，比如说15，3153^{15}315 mod 17 = 6，POS机发送一个请求给卡管，卡管把6发给pos机
pos机选择一个私有随机数，比如说13，3133^{13}313 mod 17 = 12，卡管发送一个请求给pos机，pos机把12发给卡管。
下面就是使用共享密钥加解密的过程，有DES，3DES，AES等，这些算法是来创建一个信息映射方式。
此时卡管使用121512^{15}1215 mod 17=10作为对称密钥，对数据进行加密，加密就是使用密钥对信息进行一种映射。等待pos机的请求。
pos机发送请求，得到卡管发送的数据后，使用6136^{13}613 mod 17 = 10对数据进行解密，解密就是使用密钥对信息映射进行逆转，完成共享密钥以及加解密的过程。
原因在于 卡管侧，将pos机侧传入的12 转换为pos机侧的值
(313mod17)15mod17=(313)15mod17(3^{13} mod 17)^{15} mod 17 = (3^{13})^{15} mod 17 (313mod17)15mod17=(313)15mod17
与 pos机侧，将卡管侧传入的6转换为卡管侧的值
(315mod17)13mod17=(315)13mod17(3^{15} mod 17)^{13} mod 17 = (3^{15})^{13} mod 17 (315mod17)13mod17=(315)13mod17
即3取两个私有数字次幂，mod 17得到共享密钥。
整个过程如下图所示：
而对于外部监听者来说，其只得到了17,3,6,12，如果不知道双方选择的任一私有随机数，是无法得到共享密钥的。
其密码强度就在于反向计算3?3^?3?mod 17 = 12不容易，比如说P选择一个数百位的质数，那么想求出？只能采用试错法
非对称密码技术
思路就是卡管留一把钥匙，把打开的锁给pos机，pos机将交易数据加锁之后再给卡管，卡管通过钥匙打开锁，取出交易数据。
以颜色作为案例来说明：
卡管有一个私钥，比如说红色。同时，有一个颜色生成器，可以生成某种颜色的互补色，使两种颜色混合后为透明色。生成红色的互补色蓝绿色，作为卡管的公钥。
将公钥发给pos机，交易数据模拟为黄色，pos机将黄色和黄绿色混合，生成一种混合色，将这种混合色再返回给卡管。
卡管将自己的私钥红色混合pos机发回的混合色，就得到了黄色。而其他人如果没有红色，只有混合色，只能采用试错法来试图抵消。
单向函数
这里涉及到一个单向函数，就是混合颜色输出第三种颜色很容易，而反向很难。
这里选择的仍是模算术。即mem^eme mod N = c， 其中e为公开指数，N为随机数，e和N合并起来为公钥，其中m为pos机的交易数据，c为pos机交易数据加密后的数据。
正向得到c很容易
反向，如果已知e N c，求m很难
陷门单向函数
另外，还需要一个特殊的单向函数，trap door one-way function，陷门单向函数。前面说的正向函数要求正向容易，反向很难，但是存在一个特殊情况，如果你有关于陷门的特殊信息，那么反向也会很容易。
陷门的思路是取c的其他次幂，比如说d次幂，解除我们原来对m所进行的e次幂运算
cdc^dcd mod N = m得到最初的信息m。
即找到这个式子：me∗dm^{e*d}me∗d mod N = m --式(1)
其中d即为私钥，所以陷门单向函数用于生成d。
这里涉及到欧拉函数Φ(N)，此函数衡量数的可分性，函数的输出是：有多少小于或等于N的整数，不同N具有任何公因数。比如Φ(8)=4(1,3,5,7)，其有一个特征，即Φ(质数N)=N-1。
比如说我们随机生成一个超过150位的质数P1，再生成一个位数相当的第二个质数P2，将这两个质数相乘得到N。这个乘法操作很快。而反向，已知N，要将其质数分解，只能进行试错。
我们如果知道了N如何进行质数分解，通过Φ(P1*P2)=Φ(P1)*Φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)，求解Φ(N)会很容易。
将Φ(N)函数与模幂算术联系起来，有公式mΦ(n)m^{Φ(n)}mΦ(n) mod N = 1。比如7Φ(3)7^{Φ(3)}7Φ(3) mod 3 = 1
m*mk∗Φ(n)m^{k*Φ(n)}mk∗Φ(n) mod N = 1k1^{k}1k*m，即mk∗Φ(n)+1m^{k*Φ(n)+1}mk∗Φ(n)+1 mod N = m --式(2)
比较式（1）和式（2），e*d = k*Φ(n) + 1，只有当n的因数分解已知时，计算d才容易，这是一道陷门，可以消除e的作用。其中d就是私钥。
举例
POS机将交易数据通过某种信息映射为m = 89，
在卡管侧，P1=53，P2=59，N=P1*P2=3127，Φ(n)=52*58=3016
选择e为奇数，且与Φ(n)没有相同公因数，如e=3，求出d =
卡管系统把N与e作为公钥发送给POS机，相当于开着的锁，POS机把交易数据m=89通过mem^eme mod N = c，c=1394作为加密后的信息，发送给卡管系统。
cdc^dcd mod N = m，即13941394^{}1394 mod 3127 = 89，就得到了交易数据。
整个过程：
其加密的强度在于已知N，求其质数分解的P1，P2的难度
数字签名和验签
验签过程如下：
e和N为公钥，d为私钥，c为加密后的数据，m为真实数据
先对原始请求数据除sign外做哈希摘要
value=m&sign=c
对原始数据m做 mdm^dmd mod N = c
对sign用使用第三方接口的公钥进行解签
cec^ece mod N = m，因为 me∗dm^{e*d}me∗d mod N = m
将两者内容进行对比
将解签得到的m做哈希摘要，将两个内容sign进行比对，一致，就是验签成功
整个过程
数字签名（Digital Signature）技术是非对称加密算法的典型应用。保证信息传输的完整性、发送者的身份认证、防止交易中的抵赖发生。
公钥加密，私钥解密
私钥签名，公钥验签
