本文为小姚的初等概率论复习资料，内容节选自清华大学邓老师的初概授课内容，并穿插有自己的理解，希望能对大家有所帮助。
0、写在前面
参照去年的期中题目，我总结了一下。初概期中考试的考题形式主要有判断题、计算题、证明题，涵盖内容有“特殊的分布类型”、“独立性”、“CDF、PMF、PDF的转换”、“古典概型在实际问题中的应用”、“特殊实际问题的证明”等，下面我们的复习也主要根据这些展开。
1、概率模型及性质
1.1基础知识点与其联系（事件、试验结果、样本空间、概率）
1.2概率的性质
1.2.1概率公理
概率公理主要有“非负性”、“归一性”、“可列可加性”三条，其中注意“可列可加性”将两个/可数个事件概率的关系扩展到可列个事件概率的关系（任意可列有限互斥事件），则有以下推论：
如果有事件，i=1,2,...,n，则有
由概率公理所引发的证明技巧总结：
1、互斥（考虑概率公理，拆出互斥）
2、数学归纳法
3、求补（并集性质转移到交集）或利用可列可加性
1.2.2容斥恒等式与一些不等式
对于容斥恒等式的证明，我们采用数学归纳法。下为证明过程
1.3随机抽样与随机分配（M中抽取n个）
下为有放回无序分配的推导：（情景证明）
ABC三人竞选班长，你有两票，求所有可能情况。
先列举出全部可能，再寻找规律，发现是两个挡板和两个票。
1.4古典概型的补充说明
e.p：10个人，分成两队，5人一队，分配方法一共有多少种？
若直接计算，容易忽略这是一个平均分配，结果就不会除2，所以一个通用性的方法就是“用编号法来解决”，我们将人们编号，先按照有序的方式来计算，再除以次序。
1.5重点题型matching problem
注意：一个重要极限
2、概率空间、条件概率
2.1事件域与概率测度
在一个样本空间中，不一定所有的事件都是能够分配概率的，我们把那些所有能分配概率的事件都放到一起，称为事件域。概率测度就是概率，这个不必赘述。
事件域的选择：先找到图中所有最基本的单元，然后将所有单元两两进行组合，即可得到事件域中所有事件的个数。
2.2事件的连续性
事件也是有单调性的，如果在韦恩图中，事件随着i的增加，一层层的将内层所有事件包裹起来，则为单调增，若事件随着i的增加，在原有事件的区域内一点点缩小，则为单调减。
于是，我们顺水推舟，定义事件列的上极限和下极限。
原理：对于非单调的事件列，我们要构造单调事件列，e.p我们先把所有的事件并起来，然后选取越来越少的事件并起来，这样就出现了一个单调递减的事件列，对于新的事件列
我们取交集，这一交集就是原来事件列的上极限。
上图为：利用事件列的上下极限确定概率的上下界。
由此我们将其放入实际应用中继续推广，BC引理就出现了。
注意一个公式
2.3条件概率
原来有一个认知，在我们获取新的信息后，更新我们的认知，就是条件概率。
条件概率就相当于更换了一个概率空间，概率公理等相关性质在条件概率上仍然适用。
2.3.1乘法公式
2.3.2全概率公式
就是把一个大问题拆成许多小问题，把这个大问题在不同小问题下的条件概率相加，直到加出了全集。常用的是A和。核心是：构造分割。
一道证明题（期中考试）
2.3.3贝叶斯准则
更新认识：先验认知和后验认知
3、独立性、随机变量
3.1独立性介绍
条件独立性与独立性，注意二者互不能推。
一组事件的相互独立性与两两独立性，相互独立为“将所有事件都乘起来结果为其交集概率”；两两独立为“任选两个事件乘起来其结果为其交集概率”
若AB互斥（A交B的概率等于0），且A和B的概率相等且都大于零，则AB不独立（因为不符合独立性定义）
3.2赌徒破产模型
3.3随机变量介绍
随机变量就是一个映射，将原本样本空间上的东西映射到实数轴上，要求随机变量数值化、可分配概率。
