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大数定律与中心极限定理一、切比雪夫不等式二、大数定律1. 依概率收敛定义2. 辛钦大数定律3. 伯努利大数定律三、中心极限定理1. 林德贝格-列维中心极限定理2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

大数定律与中心极限定理

一、切比雪夫不等式

设随机变量XXX具有期望E(X)=μE(X)=\muE(X)=μ，方差D(X)=σ2D(X)=\sigma^{2}D(X)=σ2，则对于任意正数ξ\xiξ，不等式P{∣X−EX∣≥ξ}≤DXξ2P\{|X-EX|\geq \xi\}\leq \frac{DX}{\xi^{2}}P{∣X−EX∣≥ξ}≤ξ2DX​或P{∣X−EX∣<ξ}≥1−DXξ2P\{|X-EX|< \xi\}\geq1- \frac{DX}{\xi^{2}}P{∣X−EX∣<ξ}≥1−ξ2DX​成立

二、大数定律

1. 依概率收敛定义

设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdotsX1​,X2​,⋯,Xn​,⋯，对于∀ξ>0\forall \xi>0∀ξ>0，都有lim⁡n→∞P{∣Xn−a∣<ξ}=1\lim_{n\to \infty}P\{|X_{n}-a|<\xi\}=1limn→∞​P{∣Xn​−a∣<ξ}=1，则称XnX_{n}Xn​依概率收敛于aaa，记作Xn→=paX_{n}\overset{p}{\rightarrow=}aXn​→=pa

2. 辛钦大数定律

设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdotsX1​,X2​,⋯,Xn​,⋯相互独立，且服从于统一分布，数学期望为E(Xi)=μ,i=1,2,⋯E(X_{i})=\mu,i=1,2,\cdotsE(Xi​)=μ,i=1,2,⋯，则1n∑i=1nXi=pμ\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}\overset{p}{=}\mun1​i=1∑n​Xi​=pμ。即1n∑i=1nf(Xi)→pE(f(Xi))\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{i=1}f(X_{i})\overset{p}{\rightarrow}E(f(X_{i}))n1​i=1∑n​f(Xi​)→pE(f(Xi​))

3. 伯努利大数定律

设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdotsX1​,X2​,⋯,Xn​,⋯相互独立，且均服从于B(1,p)B(1,p)B(1,p)，则1n∑i=1nXi→pp\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}\overset{p}{\rightarrow}pn1​i=1∑n​Xi​→pp

三、中心极限定理

1. 林德贝格-列维中心极限定理

设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdotsX1​,X2​,⋯,Xn​,⋯相互独立，且均服从于同一分布，E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2E(X_{i})=\mu,D(X_{i})=\sigma^{2}E(Xi​)=μ,D(Xi​)=σ2，则∑i=1nXi∼⋅N(nμ,nσ2)\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}\overset{\cdot}{\sim}N(n \mu,n \sigma^{2})i=1∑n​Xi​∼⋅N(nμ,nσ2)（∼⋅\overset{\cdot}{\sim}∼⋅意为近似服从），且对于∀x\forall x∀x，有lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nμnσ≤x}=Φ(x)\lim_{n \to \infty}P\Big\{\frac{\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}-n \mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\Big\}=\Phi (x)limn→∞​P{n​σi=1∑n​Xi​−nμ​≤x}=Φ(x)

2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdotsX1​,X2​,⋯,Xn​,⋯相互独立，均服从于B(1,p)B(1,p)B(1,p)，则∑i=1nXi∼⋅N[np,np(1−p)]\sum\limits^{n}_{i=1}X_{i}\overset{\cdot}{\sim}N[np,np(1-p)]i=1∑n​Xi​∼⋅N[np,np(1−p)]

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