矩阵的概念
问题提出：运动会成绩记录问题
学院运动会有数学、物理、化学、生物、地理、环境六个系参赛。每项赛事限报1 人。每项赛事取前五名记分并发奖金。前五名分别记7、 5、 3、 2、 1分，分别发奖金100、70、 50 、 20、 10 元。接力赛项目得分倍奖金增加4 倍。请列出各项比赛成绩明细表。
矩阵：由m*n个元素aij(i = 1,2, … …；j= 1,2, … … )排成的m行n列的有序列表
称为m行n列矩阵，简称m*n矩阵，常用大写字母A，B，C等表示。
可记为A = Am*n =(aij)m*n=(aij)
称A为行向量或是列向量元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵
矩阵相等
对于两个矩阵A和B，当它们的行数相同，列数相同，并且对应位置上的元素都相等时，称矩阵A与B相等，记住A=B。
即aij = bij，对所有i=1，2，……,m;j=1,2，……，n都成立.
若两个矩阵行数与列数分别相等,则为同型矩阵
同型矩阵
方阵：当m=n时，我们称矩阵A为n阶方阵
单位矩阵：主对角线上全是1，其余位置上全是0的方阵称为单位矩阵，记为I或E；或In,En
负矩阵：对于矩阵Am×n= (aij)m×n，各个元素取相反数得到的矩阵称为A的负矩阵，记为-A
上三角阵、下三角阵：
对角方阵：既是上三角阵，又是下三角阵的矩阵称为对角方阵或对角矩阵。
数量矩阵： 所有对角元aij都相等的对角方阵称为数量矩阵。
零矩阵：所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作0
m*n或者0
注意：不同阶数的零矩阵并不相等
矩阵的线性运算——加法、减法与数乘
加法：
问题提出：综合考虑各个系100米与200米的各个名次人数
性质：
加法运算律：
交换律：A+B=B+A
结合律：(A+B)+C=A+(B+C)
零矩阵相关：A+0=A；A-A=0
数乘运算律：
1A=A ;0A=0
结合律：(kl)A=k(lA)
分配律：(k+l)A=kA+lA
k(A+B)=kA+kB
矩阵的乘法
定义矩阵A与矩阵B的乘积为一个m*p的矩阵Cm×n=(cij)=AB其中
例题：
矩阵乘法不满足交换率
当AB=0并不能推出A、 B中有一个为零矩阵
矩阵乘法不满足消去率
矩阵乘法运算运算规律：
1. (AB)C=A(BC)
2. A(B+C)=AB+AC
3. (A+B)C=AC+BC
4. k(AB)=(kA)B=A(kB)
5. AI=IA=A
6. A0=0A=0
矩阵的转置
例题：
对称矩阵：原矩阵与转置矩阵相等即为对称矩阵
斜对称矩阵：原矩阵与他的转置矩阵的负矩阵相等
与对角阵的乘法：
矩阵的逆
对于n*n矩阵Ａ，若存在n*n矩阵B使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵，B为A的逆，记 B = A−1
若A是可逆矩阵，则A的逆是唯一的。
证：AB=BA=I=AC=CA , B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C
若A，B可逆，则A−1，AB ，AT，kA也可逆
如何求解矩阵的逆？
方法：待定系数
A为可逆矩阵，等价于下列的任一条件：
1. 存在矩阵B使得AB=I
2. A的行向量组线性无关
3. 存在矩阵B使得BA=I
4. A的列向量组线性无关
分块方法：
将一个矩阵A的行分成若干组，列也分成若干组，从而A被分为若干小块，将A看作是由这些小块组成的矩阵，称为矩阵分块。
矩阵的行列式
二阶行列式：指4个数组成的符号，其概念起源于解线性方程组，是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的，因此我们首先讨论解方程组的问题。行列式是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到。三阶行列式：百科、如右图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。记称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
关于三阶行列式需要记住对角线法则：
N阶行列式：特殊矩阵的行列式：对角矩阵、上下三角矩阵
行列式的性质
1. 单位矩阵的行列式等于1
2.如果将行列式的任意两行(或列)互换，那么行列式的值改变符号，即
3.行列式一行(或列)的公因子可以提到行列式记号的外面，即
4. 若某行为零，或两行相同或成比例，则行列式为零
5.若行列式的某一行(或列)的元素都是两数之和
6. detA=detAT
7. det(AB)=detAdetB
8. det(A-1)= 1/det（A）
