Task06——梯度下降
11.1 梯度下降法
梯度
导数我们都非常熟悉,既可以表示某点的切线斜率,也可以表示某点变化率,公式如下表示:
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}f′(x)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0Δxf(x+Δx)−f(x)
当函数是多元时,倒数就变成了偏导数:fx(x,y)f_{x}(x, y)fx(x,y)表示当 yyy 不变时, f(x,y)f(x,y)f(x,y) 沿着 xxx轴的变化变化率; fy(x,y)f_{y}(x, y)fy(x,y)表示当 xxx不变时, f(x,y)f(x,y)f(x,y)沿着 yyy轴的变化变化率。
但是多元函数是一个平面,方向有很多, xxx轴 yyy轴只是其中两个方向而已,假如我们需要其他方向的变化率怎么办呢?因此方向导数就有用了,顾名思义,方向导数可以表示任意方向的倒数。
假如二次函数f(x,y)f(x,y)f(x,y) ,方向u=cosθi+sinθju=\cos \theta i+\sin \theta ju=cosθi+sinθj(为单位向量)的方向导数公式如下:limt→0f(x+tcosθ,y+tsinθ)−f(x)t\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t \cos \theta, y+t \sin \theta)-f(x)}{t}limt→0tf(x+tcosθ,y+tsinθ)−f(x),记为DufD_{u}fDuf 。其中Duf=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=[fx(x,y)fy(x,y)][cosθsinθ]D_{u} f=f_{x}(x, y) \cos \theta+f_{y}(x, y) \sin \theta=\left[f_{x}(x, y) \quad f_{y}(x, y)\right]\left[\begin{array}{c}{\cos \theta} \\ {\sin \theta}\end{array}\right]Duf=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=[fx(x,y)fy(x,y)][cosθsinθ],我们记为
Duf=A×I=∣A∣∣I∣cosαD_{u} f=\mathbf{A} \times \mathbf{I}=|\mathbf{A}||\mathbf{I}| \cos \alphaDuf=A×I=∣A∣∣I∣cosα,其中α\alphaα是两向量的夹角。我们可以知道,当α\alphaα为0时,方向导数DufD_{u}fDuf达到最大,此时的方向导数即为梯度。从几何意义上来说,梯度向量就是函数变化增加最快的地方。具体来说,对于函数f(x,y)f(x,y)f(x,y) ,在点(x0,y0)(x_{0},y_{0})(x0,y0),沿着梯度向量的方向就是[∂f∂x0∂f∂y0]\left[\begin{array}{c}{\frac{\partial f}{\partial x_{0}}} \\ {\frac{\partial f}{\partial y_{0}}}\end{array}\right][∂x0∂f∂y0∂f]的方向是f(x,y)f(x,y)f(x,y)增加最快的地方(还记得梯度怎么来的吗?方向导数的最大值,粗暴点,就是导数最大值)。或者说,沿着梯度向量的方向,更加容易找到函数的最大值。反过来说,沿着梯度向量相反的方向(去负号),则就是更加容易找到函数的最小值。
Review: 梯度下降法
在回归问题的第三步中,需要解决下面的最优化问题:
θ∗=argminθL(θ)(1)\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1θ∗=θargminL(θ)(1)
LLL :lossfunction(损失函数)θ\thetaθ :parameters(参数)
这里的parameters是复数,即 θ\thetaθ 指代一堆参数,比如上篇说到的 www 和 bbb 。
我们要找一组参数 θ\thetaθ ,让损失函数越小越好,这个问题可以用梯度下降法解决:
假设 θ\thetaθ 有里面有两个参数 θ1,θ2\theta_1, \theta_2θ1,θ2
随机选取初始值
θ0=[θ10θ20](2)\theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \\ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2 θ0=[θ10θ20](2)
这里可能某个平台不支持矩阵输入,看下图就好。
然后分别计算初始点处,两个参数对 LLL 的偏微分,然后 θ0\theta^0θ0 减掉 η\etaη 乘上偏微分的值,得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法,▽L(θ)\triangledown L(\theta)▽L(θ) 即为梯度。
η\etaη 叫做Learning rates(学习速率)
上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。
Tip1:调整学习速率
小心翼翼地调整学习率
举例:
上图左边黑色为损失函数的曲线,假设从左边最高点开始,如果学习率调整的刚刚好,比如红色的线,就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小,比如蓝色的线,就会走的太慢,虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点,实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大,比如绿色的线,就会在上面震荡,走不下去,永远无法到达最低点。还有可能非常大,比如黄色的线,直接就飞出去了,更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。
虽然这样的可视化可以很直观观察,但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行,更高维的情况已经无法可视化了。
解决方法就是上图右边的方案,将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小(蓝色的线),损失函数下降的非常慢;学习率太大(绿色的线),损失函数下降很快,但马上就卡住不下降了;学习率特别大(黄色的线),损失函数就飞出去了;红色的就是差不多刚好,可以得到一个好的结果。
自适应学习率
举一个简单的思想:随着次数的增加,通过一些因子来减少学习率
通常刚开始,初始点会距离最低点比较远,所以使用大一点的学习率
update好几次参数之后呢,比较靠近最低点了,此时减少学习率
比如 ηt=ηtt+1\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}ηt=t+1ηt,ttt 是次数。随着次数的增加,ηt\eta^tηt 减小
学习率不能是一个值通用所有特征,不同的参数需要不同的学习率
Adagrad 算法
Adagrad 是什么?
每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释:
普通的梯度下降为:
wt+1←wt−ηtgt(3)w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t \tag3wt+1←wt−ηtgt(3)
ηt=ηtt+1(4)\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4ηt=t+1ηt(4)
www 是一个参数
Adagrad 可以做的更好:
wt+1←wt−ηtσtgt(5)w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma^t}g^t \tag5wt+1←wt−σtηtgt(5)
gt=∂L(θt)∂w(6)g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6gt=∂w∂L(θt)(6)
σt\sigma^tσt :之前参数的所有微分的均方根,对于每个参数都是不一样的。
Adagrad举例
下图是一个参数的更新过程
Adagrad 存在的矛盾?
在 Adagrad 中,当梯度越大的时候,步伐应该越大,但下面分母又导致当梯度越大的时候,步伐会越小。
下图是一个直观的解释:
下面给一个正式的解释:
比如初始点在 x0x_0x0,最低点为 −b2a−\frac{b}{2a}−2ab,最佳的步伐就是 x0x0x0 到最低点之间的距离 ∣x0+b2a∣\left | x_0+\frac{b}{2a} \right |∣∣x0+2ab∣∣,也可以写成 ∣2ax0+b2a∣\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |∣∣2a2ax0+b∣∣。而刚好 ∣2ax0+b∣|2ax_0+b|∣2ax0+b∣ 就是方程绝对值在 x0x_0x0 这一点的微分。
这样可以认为如果算出来的微分越大,则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比,它可能是比较好的。
结论1-1:梯度越大,就跟最低点的距离越远。
这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。
多参数下结论不一定成立
对比不同的参数
上图左边是两个参数的损失函数,颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w1w_1w1,就像图中蓝色的线,得到右边上图结果;如果只考虑参数 w2w_2w2,就像图中绿色的线,得到右边下图的结果。确实对于 aaa 和 bbb,结论1-1是成立的,同理 ccc 和 bbb 也成立。但是如果对比aaa 和 ccc,就不成立了,ccc 比 aaa 大,但 ccc 距离最低点是比较近的。
所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下,才能成立的。所以还不完善。
之前说到的最佳距离 ∣2ax0+b2a∣\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |∣∣2a2ax0+b∣∣,还有个分母 2a2a2a 。对function进行二次微分刚好可以得到:
∂2y∂x2=2a(7)\frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a \tag7∂x2∂2y=2a(7)
所以最好的步伐应该是:
一次微分二次微分\frac{一次微分}{二次微分}二次微分一次微分
即不止和一次微分成正比,还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分:
Adagrad 进一步的解释
再回到之前的 Adagrad
对于 ∑i=0t(gi)2\sqrt{\sum_{i=0}^t(g^i)^2}∑i=0t(gi)2 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。(如果计算二次微分,在实际情况中可能会增加很多的时间消耗)
Tip2:随机梯度下降法
之前的梯度下降:
L=∑n(y^n−(b+∑wixin))2(8)L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag8L=n∑(y^n−(b+∑wixin))2(8)
θi=θi−1−η▽L(θi−1)(9)\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9θi=θi−1−η▽L(θi−1)(9)
而随机梯度下降法更快:
损失函数不需要处理训练集所有的数据,选取一个例子 xnx^nxn
L=(y^n−(b+∑wixin))2(10)L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag{10}L=(y^n−(b+∑wixin))2(10)
θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)(11)\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta^{i-1}) \tag{11}θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)(11)
此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理,只需要计算某一个例子的损失函数Ln,就可以赶紧update 梯度。
对比:
常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子,但随机算法此时已经走了二十步(每处理一个例子就更新)
Tip3:特征缩放
比如有个函数:
y=b+w1x1+w2x2(12)y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}y=b+w1x1+w2x2(12)
两个输入的分布的范围很不一样,建议把他们的范围缩放,使得不同输入的范围是一样的。
为什么要这样做?
上图左边是 x1x_1x1 的scale比 x2x_2x2 要小很多,所以当 w1w_1w1 和 w2w_2w2 做同样的变化时,w1w_1w1 对 yyy 的变化影响是比较小的,x2x_2x2 对 yyy 的变化影响是比较大的。
坐标系中是两个参数的error surface(现在考虑左边蓝色),因为 w1w_1w1 对 yyy 的变化影响比较小,所以 w1w_1w1 对损失函数的影响比较小,w1w_1w1 对损失函数有比较小的微分,所以 w1w_1w1 方向上是比较平滑的。同理 x2x_2x2 对 yyy 的影响比较大,所以 x2x_2x2 对损失函数的影响比较大,所以在 x2x_2x2 方向有比较尖的峡谷。
上图右边是两个参数scaling比较接近,右边的绿色图就比较接近圆形。
对于左边的情况,上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的,两个方向上需要不同的学习率,同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的,而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心(最低点)走,这样做参数更新也是比较有效率。
怎么做缩放?
方法非常多,这里举例一种常见的做法:
上图每一列都是一个例子,里面都有一组特征。
对每一个维度 iii(绿色框)都计算平均数,记做 mim_imi;还要计算标准差,记做 σi\sigma _iσi。
然后用第 rrr 个例子中的第 iii 个输入,减掉平均数 mim_imi,然后除以标准差 σi\sigma _iσi,得到的结果是所有的维数都是 000,所有的方差都是 111
梯度下降的理论基础
问题
当用梯度下降解决问题:
θ∗=argmaxθL(θ)(1)\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ max}} L(\theta) \tag1θ∗=θargmaxL(θ)(1)
每次更新参数 θ\thetaθ,都得到一个新的 θ\thetaθ,它都使得损失函数更小。即:
L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅(13)L(\theta^0) >L(\theta^1)>L(\theta^2)>···\tag{13}L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅(13)
上述结论正确吗?
结论是不正确的。。。
数学理论
比如在 θ0\theta^0θ0 处,可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 θ1\theta^1θ1,不断的这样去寻找。
接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值?
泰勒展开式
先介绍一下泰勒展开式
定义
若 h(x)h(x)h(x) 在 x=x0x=x_0x=x0 点的某个领域内有无限阶导数(即无限可微分,infinitely differentiable),那么在此领域内有:
h(x)=∑k=0∞hk(x0)k!(x−x0)k=h(x0)+h′(x0)(x−x0)+h′′(x0)2!(x−x0)2+⋯(14)\begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty }\frac{h^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \\ & =h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)+\frac{h''(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+⋯ \tag{14} \end{aligned} h(x)=k=0∑∞k!hk(x0)(x−x0)k=h(x0)+h′(x0)(x−x0)+2!h′′(x0)(x−x0)2+⋯(14)
当 xxx 很接近 x0x_0x0 时,有 h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0)h(x)≈h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0)
式14 就是函数 h(x)h(x)h(x) 在 x=x0x=x_0x=x0 点附近关于 xxx 的幂函数展开式,也叫泰勒展开式。
举例:
图中3条蓝色线是把前3项作图,橙色线是 sin(x)sin(x)sin(x)。
多变量泰勒展开式
下面是两个变量的泰勒展开式
利用泰勒展开式简化
回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式,在 (a,b)(a,b)(a,b) 点的红色圆圈范围内,可以将损失函数用泰勒展开式进行简化:
将问题进而简化为下图:
不考虑s的话,可以看出剩下的部分就是两个向量(△θ1,△θ2)(\triangle \theta_1,\triangle \theta_2)(△θ1,△θ2) 和 (u,v)(u,v)(u,v) 的内积,那怎样让它最小,就是和向量 (u,v)(u,v)(u,v) 方向相反的向量
然后将u和v带入。
L(θ)≈s+u(θ1−a)+v(θ2−b)(14)L(\theta)\approx s+u(\theta_1 - a)+v(\theta_2 - b) \tag{14}L(θ)≈s+u(θ1−a)+v(θ2−b)(14)
发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提,泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的,而这需要红色的圈圈足够小(也就是学习率足够小)来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话,即保证式1-2 成立的话,就需要学习率足够足够小才可以。
所以实际中,当更新参数的时候,如果学习率没有设好,是有可能式1-2是不成立的,所以导致做梯度下降的时候,损失函数没有越来越小。
式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项,如果考虑到二次项(比如牛顿法),在实际中不是特别好,会涉及到二次微分等,多很多的运算,性价比不好。
梯度下降的限制
容易陷入局部极值
还有可能卡在不是极值,但微分值是0的地方
还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了,但这里只是比较平缓,并不是极值点
11.2 牛顿法
一般来说,牛顿法主要应用在两个方面,1:求方程的根;2:最优化。
牛顿法:
输入:目标函数f(x)f(x)f(x),梯度g(x)=∇f(x)g(x)=\nabla f(x)g(x)=∇f(x),海赛矩阵 H(x)H(x)H(x),精度要求 ε\varepsilonε
输出:f(x)f(x)f(x)的极小点x∗x^{*}x∗
取初始点 x(0)x^{(0)}x(0) ,置 k=0k=0k=0
2. 计算gk=g(x(k))g_{k}=g\left(x^{(k)}\right)gk=g(x(k))
3. 若∥gk∥<ε\left\|g_{k}\right\|<\varepsilon∥gk∥<ε则停止计算,得近似解x∗=x(k)x^{*}=x^{(k)}x∗=x(k)
4. 计算Hk=H(x(k))H_{k}=H\left(x^{(k)}\right)Hk=H(x(k)) ,并求 pkp_{k}pk
Hkpk=−gkH_{k} p_{k}=-g_{k}Hkpk=−gk
5. 置x(k+1)=x(k)+pkx^{(k+1)}=x^{(k)}+p_{k}x(k+1)=x(k)+pk
6. 置k=k+1k=k+1k=k+1,转2.
参考内容
[1] /p/37524275.
[2 /news/07/DLDxLHJodhuT9h2X.html.
[3] 李宏毅机器学习