大数定律
大数定律的本质其实就是证明了在n很大的时候,样本均值依概率收敛于总体期望。
(1)切比雪夫大数定律
条件:A)相互独立的随机变量序列,B)方差均值存在,且方差DXi 都是由上界的,即都小于等于某个数。
那么样本均值就会依概率收敛于每个随机变量期望的均值
(2)辛钦大数定律
条件:A)独立同分布的随机变量序列,B)期望存在,为u。
辛钦大数定律是在独立同分布情况下发生的,且只需要期望存在,这是与切比雪夫大数定律的区别。正式因为有了独立同分布,所以每一个随机变量的期望都是u,且所有期望的均值也是u
那么有 样本均值依概率收敛于 = u
(3)伯努利大数定律
伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况,在确定了{Xn}全部都是独立同0-1分布情况下所有的情况。
由于二项分布中的随机变量的取值只有:0,1两种情况,所以样本均值就变成了在n此伯努利试验中,试验成功的次数(Un表示次数),即,而此时0-1分布的总体期望是p,所以就有:
样本均值 =依概率收敛于= p
中心极限定理
中心极限定理的本质是样本均值以总体期望为中心变动,当n很大的时候,样本均值
服从的是:以总体期望为期望的,以总体方差的为方差的正太分布。
即样本均值服从正太分布N(,)
即服从正太分布N(,)
(1)列维-林德伯格定理
条件:1)随机变量序列独立同分布 ,2)总体均值和总体方差都存在,且分别为和
随后可以对样本均值和n倍的样本均值进行单位化,就有了下列的公式:
即
(2)拉普拉斯定理
拉普拉斯定理是林德伯格定理的一种特殊情况,其中的随机变量序列{Xn}满足独立同0-1分布。
上述是的情况。
样本均值服从正态分布N(,)
即服从正态分布N(,)
大数定律和中心极限定律的关系
大数定律告诉你 样本均值趋向的方向是没有错的,即依概率收敛于每个随机变量期望的均值。但趋向的过程是怎么样的呢?中心极限定律就告诉你,样本均值在趋向的过程中,是服从某个正态分布的。