对于一元二次方程
,我们由求根公式可得：。
对于一元三次方程
,我们有卡尔丹公式法和盛金公式法。不过公式比较冗长、不易计算，但我们还是有方法计算的，那么如果是一元四次、一元五次甚至更高呢？
遇到高次方程
我们通常的做法是先用试根法(the rational zero test)找到方程一个根c，然后根据Factor Theorem可知， 。于是，我们把P(x)次数降低了，只需要找 的根就可以了。如果次数还比较高，继续采用试根法找根、降次，直至找到所有的根。
这里给出一道例题：
根据试根法可知，根是100的因子，从1开始，发现 是方程的一个根，那么 。接着又发现 是 的根，所以得到： 。
最后得到方程的解为 ,一共有2个有理数根，先C。
可以发现试根法是一种不错的求解高次方程的方法，但是比较繁琐，需要找到根才能用，如果方程没有实根，那么找根的难度就更大了。
下面分享两道国际数学竞赛中的高次求根，抛砖引玉。
-美国区域联赛(ARML)-Team Round-14
Compute the sum of the real roots of
.
这是一个一元六次方程，问题是要找到所有实数根的和，如果是所有根的和，那么直接用高次韦达定理就解决了，说明还是要把所有的根解出来的。第一道题采用整式合并的方法。
因为 ,所以 。因为 不是方程的根，所以两边可以同时除 ,可得 。
根据对称性可知，如果 是方程的一个根，那么 也是方程的一个根，所以两个实数根的和为： 。
这道题虽然是一元六次方程但是发现可以通过完全立方公式化简合并，当然这需要对公式有较为深刻的认识。下面给出几个常见的公式：
接下去再给出一道题
-杜克数学大会(DMM)-Individual Round-9
Find the root with the largest real part to
over the complex numbers.
根据代数基本定理一个四次方程应该有4个根，而现在要在复根中找到实部最大的，说明我们要算出这些根然后进行比较。第二道题采用整体代换的方法。
因为 不是方程的根，所以两边同除以 可得： 。令 ,
则 ,原式就变为： 。
这是一个一元二次方程，可用十字相乘法得到 。
于是得到两个方程： 和 。
那么，可以解得 ,
发现都是实数根，所以最大的根为： 。
这里采用整体代换的方法把一个一元四次方程转化成了一元二次方程，顺利的求得了四个根，令
也是比较常见的代换技巧。一般的高次方程求解是比较困难的，不同的方程可能要采用不同的方法求解，不过试根法、整体代换等都是可以考虑。
今年DMM中国区终选Team round第5题又出现了一道高次方程求解的问题。
-DMM中国区终选-Team Round-5
Find the real root of the polynomial.
这道题因为看不出对称，不像上一题除以
就能看出来了，但是方法还是用了我们上述讲的代换方法。
令 ,则因此，
于是，令 ,上式变为 ,因此 或 .
这里出题者应该是先想好了要考
的代换，然后凑了一个整系数的高次方程，所以之后如果遇到高次方程不妨试试 。类似的，我们也可以把上述问题变为：
Find the real root of the polynomial .
那么这里就要令
进行代换了。
一己拙见，欢迎交流指正~~
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