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c语言中欧几里得模乘法逆元扩展欧几里得算法同余方程模m乘法逆元详解

时间：2023-01-26 19:31:52

欧几里德算法：

复习：求最大公约数算法(欧几里得算法、也叫辗转相除法)。欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

第二种证明：

要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b

下面证 gcd(a，b)=gcd(b，r)

设 c是a，b的最大公约数，即c=gcd(a，b)，则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数

由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，

则 r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c

b=nc,r=(m-qn)c，且n，(m-qn)互质

(假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1

则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质)

则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

得证。

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

[cpp]view

plain

intgcd(inta,intb)

{

if(b==0)

returna;

return

gcd(b,a%b);

}

[cpp]view

plain

intgcd(inta,intb)

{

returnb?gcd(b,a%b):a;

}

扩展欧几里德算法：

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd(a，b)表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得：

gcd(a，b)=ax+by。

证明：设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd(a，b)=a。此时 x=1，y=0；

2，ab!=0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

[cpp]view

plain

intexgcd(inta,intb,int&x,int&y)

{

if(b==0)

{

x=1;

y=0;

returna;

}

intr=exgcd(b,a%b,x,y);

intt=x;

x=y;

y=t-a/b*y;

returnr;

}

扩展欧几里德非递归算法思路参见附文：欧几里德算法和扩展欧几里德算法。(非递归算法思路解析)

扩展欧几里德非递归代码：

[cpp]view

plain

intexgcd(intm,intn,int&x,int&y)

{

intx1,y1,x0,y0;

x0=1;y0=0;

x1=0;y1=1;

x=0;y=1;

intr=m%n;

intq=(m-r)/n;

while(r)

{

x=x0-q*x1;y=y0-q*y1;

x0=x1;y0=y1;

x1=x;y1=y;

m=n;n=r;r=m%n;

q=(m-r)/n;

}

returnn;

}

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

(1)求解不定方程；

(2)求解模线性方程(线性同余方程)；

(3)求解模的逆元；

(1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，

p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：

p = p0 + b/Gcd(p, q) * t

q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解

p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

代码如下：

[cpp]view

plain

boollinear_equation(inta,intb,intc,int&x,int&y)

{

intd=exgcd(a,b,x,y);

if(c%d)

returnfalse;

intk=c/d;

x*=k;y*=k;//求得的只是其中一组解

returntrue;

}

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

同余方程ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

求解方程 ax≡b (mod n)相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。

如果 d| b，则方程a* x0+ n* y0= d，方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，

得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。

所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

设ans=x*(b/d),s=n/d;

方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

c语言中欧几里得模乘法逆元 扩展欧几里得算法同余方程模m乘法逆元详解

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