多项式的同余
取定
为 上的非常值多项式（即 ）
Def1.多项式
与 模 同余式指 ，此时用同余式来表示。
Thm1.模 同余关系是 上的等价关系，且如果 ， ，则：
Prf.显然。
记
为多项式 所在的同余等价类，由多项式的带余除法， 模 的同余等价类几何即。
则由上述命题，如果定义
则
在上述加法和乘法运算下构成交换环，即下述定理成立：
Thm2.为交换环，它的元素为 。它的单位群 为
特别地， 为整环当且仅当 为不可约多项式。
将上述定理应用到
（ 元有限域）的情形，我们有如下推论：
Corollary.若
，则 为 元环。若 为不可约多项式，则 为 元有限域。
Prf.若
，则 ，使得 。故 ，所以 ，另一方面，若 可逆，则 ，使得
故
所以 。综上所述，即得
如果
，则 ，故 不是整环。另一方面，若 不可约，则 ，有 ，故 .
即
为域。
多项式环上的CRT
从前面的例子可以看出来多项式环和整数环真是太相似辣！那么多项式环上同样有中国剩余定理：
Thm3.若 ，其中 两两互素，则有ring isomorphism诱导了group isomorphism
此定理的证明完全类似于整数环中国剩余定理的证明, 留作练习. 同样, 可以用中国剩余定理来解多项式同余方程.
低次多项式的不可约性
由多项式的同余理论，我们知道若
是 上的不可约多项式，则 是域。这是最常见构造域的手段. 因此迅速判定一个多项式是否可约有很重要的理论和实际意义. 对千低次多项式, 我们有下面的结果:
Thm4.(1) 任意非常值的多项式的非常值多项式因子中次数最小者必为不可约多项式;
(2) 特别地, 次数为 的多项式必为不可约多项式.
(3) 域上的 次或者 次多项式不可约当且仅当它在域上没有零点.
Prf.(1) 设
是 中非常值多项式因子中次数最小者. 如果 可约, 则 且 , 但 是 的因子而 又是 的因子, 故 也是 的因子. 这与 的次数最小性矛盾.
(2) 是(1) 的特殊情况.
(3) 设
次数为 或 . 如果 且 ,则 或 中必有一个次数恰好为 , 此时它等于 , 故 即为 的零点. 另一方面, 如果 有零点, 由余数定理, 必可约.
