2．能观标准型实现 若系统系统能观标准型的状态空间表达式为： 可见，由传递函数模型转换为能观标准型状态空间模型只需根据式中矩阵A，B，C的特征直接将传递函数分子分母多项式对应的系数写入即可。 3．对角线标准型实现 设系统传函分母有n个不相同实极点，分别为入1, …, 入n，则 式中，C为和实极点人对应的留数。 令状态变量 则 两边进行拉氏反变换可得 得 两边进行拉氏反变换可得 则 上式就是所求的状态空间模型，A矩阵是对角线矩阵，若系统含有共轭复极点，则其极点实部和虚部以2×2模块形式位于对角线上。 4．约旦标准型实现 设系统传递函数分母在n个实极点中有重极点。现设入1是G(s)的一个r重极点。用部分分式展开，则有： 这里，矩阵A为约旦标准型。 在MATLAB中直接用于状态空间实现函数除函数SS，TF2SS，ZP2SS外，还有CANON。 函数TF2SS由传递函数生成一个能控标准型状态空间模型。 函数CANON生成一个约旦标准型状态模型，调用格式 csys＝canon(sys，Type) 其中，sys为原系统模型，csys是对角线标准形实现。Type为转换后标准型类型，有两个选项： ‘modal’对角线标准实现 A的实特征值位于对角线上或共轭复特征值以2×2模块形式位于A的对角线上。例如，一个系统具有特征值： ，则对角线标准型实现： (2) ‘companion’伴随矩阵标准型实现 指原系统中A的特征多项式系数位于伴随矩阵的最右列。例如，一个系统特征多项式 则对应的伴随矩阵为： 这种形式往往具有病态条件，应尽可能避免。 3.4.2 系统能控性和能观性 1．系统的能控性和能观性 由控制理论，对于LTI系统(A, B, C, D)，其能控性矩阵为 若C0是满秩的，则系统是完全能控的。 对于LTI系统(A, B, C, D)，其能观性矩阵为： 若Ob是满秩的，则系统是完全能观的。 MATLAB提供函数CTRB计算能控性矩阵，调用格式为 或 函数OBSV计算能观性矩阵，调用格式为： 或 2．能控分解和能观分解 对于LTI系统，既可用状态空间模型描述，也可用传递函数描述。这两种描述是否等价?卡尔曼一吉尔伯德定理告诉我们：给定系统(A，B，C，D)的传递函数G(s)所表示的仅是该系统既能控又能观的那部分子系统。 如果状态空间模型能控矩阵C0的秩小于A的阶数，则存在相似变换矩阵T，且 原模型(A, B, C, D)分解为能控部分和不能控部分： Auc为不能控部分，位于左上角，(AC，BC)是能控部分 MATLAB提供系统能控和不能控分解函数CTRBF，格式为： 同上所述，K为矢量，其长度同A维数，其元素总和为可控状态数。如果状态空间模型能观矩阵O。的秩小于A的阶数，则存在相似变换矩阵T，并进行变换，使原模型(A，B，C)分解为能观部分和不能观部分。变换后系统矩阵为： 其中，An0是不能观部分，位于左上角，A0为能观部分。 MATLAB提供系统不能观和能观分解函数OBSVF，格式为： 同上，K为向量，同A的维数，元素之和为能观状态数。 3.4.3 系统的最小实现 若系统的传递函数没有零点、极点对消情况，则其对应的状态空间模型所需状态变量最少，称为系统的最小实现。一个LTI系统的状态空间模型可经过相似变换为下面形式： 式中， 为系统的能控能观子空间； 为系统的能控不能观子空间； 为系统的不能控能观子空间； 为系统的不能控不能观子空间。 在能控能观的分解中，既能控又能观的子空间称为原系统的最小实现。从传递函数角度，最小实现的系统没有零极点对消的情况。 MATLAB出函数MINREAL直接用于状态空间的最小实现，即删除状态空间模型的不能观、不能控或不能控不能观的状态，保留既能控又能观的状态，或消除模型中的相同零极点对。调用格式为： sysm=minreal(sys) 其中，sys为原系统模型，sysm为最小实现模型。 3.4 模型降阶 模型降阶技术是系统分析、设计和仿真中不可缺少的一环，其基本思想是使原始系统的系数矩阵的阶次降低，并保留原系统的主导特征值和一些重要的状态。 MATLAB中有基于平衡实现降阶函数BALREAL和MODRED。函数BALREAL计算可控及可观测的Gram矩阵，并对原系统进行等价变换，将原系统分成两
