1 有限域基础知识
1.1 有限域（Galois域）的构造
令 p 为一个素数. 则对任意的一个正整数
注：任意一个有限域，其元素的个数一定为 pn，其中 p 为一个素数（有限域的特征），
例1（有限域 GF(p)）令 p 为一个素数，集合
GF(p)=Zp={0,1,2,…,p−1}. 在 GF(p) 上定义加法 ⊕ 和乘法 ⊙ 分别为模 p 加法和模
p 乘法，即任意的 a,b∈GF(p)，a⊕b=(a+b)modp,a⊙b=(a⋅b)modp
则 <GF(p),⊕,⊙><script type="math/tex" id="MathJax-Element-638"></script> 为一个有 p 个元素的有限域，其中零元素为
0 ，单位元为 1.令
a 为 GF(p) 中的一个非零元素. 由于 gcd(a,p)=1，因此，存在整数 b,c，使得 ab+pc=1. 由此得到 a 的逆元为a−1=bmodp .域 GF(p) 称为一个素域(prime field).
例注1：给定 a 和
p ，例1中的等式 ab+pc=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF(p) 中任意非零元素的逆元.例2（有限域 GF(pn)）从 GF(p) 出发，对任意正整数 n，
n≥2 ，我们可以构造元素元素个数为 pn 的有限域 GF(pn) 如下：令 g(x) 为一个 GF(p) 上次数为 n 的不可约多项式，集合
GF(pn)=GF(p)[x]/⟨g(x)⟩={a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1|ai∈GF(p),0≤i≤n−1} 在 GF(pn) 上定义加法 ⊕ 和乘法 ⊙ 分别为模 g(x) 加法和模 g(x) 乘法，即任意的 a(x),b(x)∈GF(pn)，
a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x),a(x)⊙b(x)=(a(x)⋅b(x))modg(x)
则 <GF(pn),⊕,⊙><script type="math/tex" id="MathJax-Element-671"></script> 为一个有 pn 个元素，特征为 p 的有限域，其中零元素为
GF(p) 中的 0，单位元为GF(p) 中的 1.令
a(x) 为 GF(pn) 中的一个非零元素. 由于 gcd(a(x),g(x))=1，因此，存在 GF(p) 上的多项式 b(x),c(x)，使得 a(x)b(x)+g(x)c(x)=1. 由此得到 a(x) 的逆元为 a−1(x)=b(x)modg(x).域 GF(pn) 称为 GF(p) 的（n 次）扩域(extension field)，而
GF(p) 称为 GF(pn) 的子域(subfield).例注2.1：给定 GF(p) 上的多项式 a(x) 和 g(x)，例2中的等式 a(x)b(x)+g(x)c(x)=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得 GF(pn) 中任意非零元素的逆元.
例注2.2：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域. 对任意正整数
n , GF(q) 上的 n 次不可约多项式一定存在. 更进一步，GF(q) 上首项系数为 1 的n 次不可约多项式的个数为Nq(n)=1n∑d|nμ(nd)qd=1n∑d|nμ(d)qn/d
其中 μ 为Moebius函数，定义为
μ(m)=⎧⎩⎨1(−1)k0如果m=1如果m=p1p2⋯pk,其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数其它
1.2 有限域的性质
令 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，
F∗q=GF(q)∖{0} 为有限域 GF(q) 中所有非零元素构成的集合. 则在乘法之下 F∗q 是一个有限循环群. 循环群 F∗q 的一个生成元称为有限域 GF(q) 的一个本原元.若 α∈GF(q) 为一个本原元，则
GF(q)={0,1,α,α2,…,αq−2}
并且 αq−1=1，即 αq=α.
定义：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，
GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域（p 不一定为素数），α∈GF(q). 则 GF(p) 上以 α 为根，首项系数为 1，并且次数最低的多项式称为α 在 GF(p) 上的极小多项式(minimal polynomial of α over GF(p)).特别地，若 α∈GF(q) 为 GF(q) 的一个本原元，则 α 在 GF(p) 上的极小多项式称为 GF(p) 上的一个本原多项式(primitive polynomial for GF(q) over GF(p)).
定义注1：对任意的 α∈GF(q)， α 在 GF(p) 上的极小多项式存在并且唯一，并且 α 在 GF(p) 上的极小多项式为 GF(p) 上的一个不可约多项式.
定义注2：设 α∈GF(q)， 则 α 和 αp 在 GF(p) 上具有相同的极小多项式. 更进一步，集合
B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}
中的元素具有相同的极小多项式. 设 q=pn，则 αpn=α. 因此，集合 B(α) 中互不相同的元素的个数（记为 r）不超过
n . 可以证明，α 为 GF(q) 的一个本原元当且仅当 r=n.定理：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，
GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域. 设α∈GF(q) ，r 为满足αpr=α 的最小正整数. 则 α 在 GF(p) 上的极小多项式 g(x) 是一个 r 次不可约多项式，并且
B(α)={α,αp,αp2,…,αpr−1} 中的元素为 g(x) 在 GF(q) 上的所有不同的根，即
g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpr−1).
注：r 的计算方法如下：设
α 在 F∗q 中的阶为 k. 集合
Z∗k={m|0≤m≤k−1,gcd(m,k)=1} 在模 k 乘法运算下是一个含有
φ(k) 个元素的有限群（其中 φ 为欧拉(Euler)函数）. 则 r 等于pmodk 在 Z∗k 中的阶.推论：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，
GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域. 设|GF(q)|=pn ，即 q=pn. 设 α∈GF(q) 为 GF(q) 的一个本原元，则 α 在 GF(p) 上的极小多项式 g(x) 的次数为 n，并且
g(x)=(x−α)(x−αp)(x−αp2)⋯(x−αpn−1). 更进一步，α,αp,αp2,…,αpn−1 均为 GF(q) 的本原元.
注：设 GF(p) 是一个含有 p 个元素的有限域，
n 是任意一个正整数，则 GF(p) 上的 n 次本原多项式一定存在. 更进一步，GF(p) 上的首项系数为 1 的n 次本原多项式的个数为 φ(pn−1)n，其中 φ 为欧拉函数.例3考虑二元域 GF(2) 上的不可约多项式 p(α)=α3+α+1，构造有限域
GF(23)=GF(2)[α]/⟨p(α)⟩={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.
容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6 都是 GF(23) 的本原元. GF(2) 上的首项系数为 1 的
3 次本原多项式有两个，分别为(i) α,α2,α4 在 GF(2) 上的极小多项式
g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1
(ii) α3,α5,α6 在 GF(2) 上的极小多项式
g(x)=x3+x2+1
有限域 GF(p) 上的本原多项式一定是 GF(p) 上的不可约多项式；但是，GF(p) 上的不可约多项式不一定是 GF(p) 上的本原多项式.
定理：设 GF(q) 是一个含有 q 个元素的有限域，
GF(p) 是 GF(q) 的一个含有 p 个元素的子域，g(x) 是 GF(p) 上的一个不可约多项式. 则 g(x) 为 GF(p) 上的本原多项式当且仅当 g(x) 在 GF(q) 上的根都是 GF(q) 的本原元.下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.
例4考虑二元域 GF(2) 上的不可约多项式 p(x)=x4+x3+x2+x+1，构造有限域
GF(24)=GF(2)[x]/⟨p(x)⟩={a+bx+cx2+dx3|a,b,c,d∈GF(2)}.
显然，x∈GF(24). 由于 x5=1，即 x 的阶为
5 ，因此，x 不是GF(24) 的本原元. 于是， p(x) 不是 GF(2) 上的本原多项式. 另外，可以验证 x+1 是 GF(24) 的本原元.2 Matlab 中的有限域计算函数
Matlab 中自带的有限域的计算是在 GF(2m) 上进行的，即在二元域 GF(2) 的扩域中进行计算，其中 1≤m≤16.
由 “1.1 有限域的构造” 的 “例2” 可知，我们只需先找到一个 GF(2) 上的 m 次不可约多项式
g(x) ，得到集合 GF(2)[x]/⟨g(x)⟩，然后定义其上的加法和乘法分别为模 g(x) 加法和模 g(x) 乘法，即得到有限域 GF(2m).然而，这样得到的有限域 GF(2m) 中，元素 x 未必是本原元，这将给后面的（乘法）运算带来很多麻烦. 因此，在不可约多项式
g(x) 的挑选上，我们最好选择一个本原多项式. 这其实就是 Matlab 中的做法.Matlab 中 GF(2m) 的元素：在 Matlab 中 GF(2m):=GF(2)[D]/⟨p(D)⟩，其中 p(D) 为一个 GF(2) 上的 m 次本原多项式.
GF(2m)={am−1Dm−1+am−2Dm−2+⋯+a1D+a0,|ai∈GF(2),0≤i≤m−1} 因此，每个 GF(2m) 中的元素本质上是一个次数小于 m 的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系. 例如，取
m=3 和本原多项式 p(D)=D3+D+1，则我们得到有限域 GF(23)，其中的元素和多项式之间的对应关系如下：GF(2) 上的多项式由系数组成的二进制所对应的（十进制）数字来表示. 例如，多项式 p(D)=D3+D+1 的系数组成的二进制为 1011，因此，多项式 p(D) 表示为数字 11.
2.1 定义有限域数组
在 Matlab 中，函数 gf 用来定义一个有限域数组，函数申明如下：
X_GF = GF(X,M,PRIM_POLY)函数创建有限域 GF(2M) 上的一个数组，使用的 GF(2) 上的 M 次本原多项式为 PRIM_POLY； M 是一个 1 至
16 之间的整数；数组 X 中的元素为 0 至2M−1 之间的数.例如，生成有限域 GF(23) 中的所有元素，并令本原多项式为 p(D)=D3+D2+1.
>> GF8 = gf(0:7,3,13)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7如果不指定本原多项式，则 Matlab 将使用默认本原多项式. 例如
>> gf(0:7,3)ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7在这里例子中，Matlab 使用了 3 次本原多项式
D3+D+1 .如果不指定次数 M 和本原多项式 PRIM_POLY，则生成二元域 GF(2) 中的元素.
>> gf(0:1)ans = GF(2) array. Array elements = 0 1生成的有限域中的数组可以参与运算（+、、.、.^、\等). 注意：参与运算的操作数必须来自同一个有限域，用于生成有限域的本原多项式也必须相同！
一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下：
>> GF8 = gf(0:7,3)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7>> GF8'*GF8ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D+1 (11 decimal)Array elements = 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 3 1 7 50 3 6 5 7 4 1 20 4 3 7 6 2 5 10 5 1 4 2 7 3 60 6 7 1 5 3 2 40 7 5 2 1 6 4 3>> GF8 = gf(0:7,3,13)GF8 = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)Array elements = 0 1 2 3 4 5 6 7>> GF8'*GF8Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 andprimitive polynomial 13. Arithmetic still workscorrectly but multiplication, exponentiation, andinversion of elements is faster with lookup tables.Use gftable to create and save the lookup tables. > In gf.gettables at 35In gf.mtimes at 20ans = GF(2^3) array. Primitive polynomial = D^3+D^2+1 (13 decimal)Array elements = 0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 5 7 1 30 3 6 5 1 2 7 40 4 5 1 7 3 2 60 5 7 2 3 6 4 10 6 1 7 2 4 3 50 7 3 4 6 1 5 2在这里我们用两个不同的本原多项式构造有限域 GF(23)，得到两张不同的乘法表.
注1：当我们计算 GF(2)[D]/⟨D3+D2+1⟩ 的乘法表时，Matlab 给产生一个警告 “Warning: Lookup tables not defined for this order 2^3 and primitive polynomial 13.” 从警告中我们可以看出，Matlab 中有限域的乘法是通过查表来完成的，这样可以显著地提高计算的速度. 我们可以通过命令 gftable 来创建并保存查找表格.
注2：用本原多项式 D3+D+1 和 D3+D2+1 生成两个不同的元素个数为 8 的有限域，然而这两个有限域是同构的. 一般地，我们有如下有限域同构定理：
定理：任意两个元素个数相同的有限域一定同构.
与本原元多项式相关的函数
primpoly
函数 primpoly 用于计算
GF(2) 上的本原多项式，函数申明如下：
PR = PRIMPOLY(M, OPT, 'nodisplay')其中 M 为本原多项式的次数，其取值为 2 至
16 之间的整数；选项 OPT 的定义如下：
OPT = 'min' 给出一个权值最小的本原多项式OPT = 'max' 给出一个权值最大的本原多项式OPT = 'all' 给出所有的本原多项式OPT = L给出所有权值为L的本原多项式字符串 ‘nodisplay’ 用于关闭默认的本原多项式显示方式.
例如，输出 GF(2) 上所有次数为 3 的本原多项式.
>> primpoly(3,all)Primitive polynomial(s) = D^3+D^1+1D^3+D^2+1ans =1113>> primpoly(3,all, odisplay)ans =1113isprimitive
函数 isprimitive 用来检查
GF(2) 上的多项式是否为本原多项式，函数申明如下：
CK = ISPRIMITIVE(A)其中 A 为一个表示多项式的数字，并且表示的多项式的次数不能超过 16. 如果 A 为本原多项式，则返回 1；否则返回
0 .例如，检查多项式 D3+D2+1 和 D3+D2+D+1 是否为本原多项式如下：
>> isprimitive(13)ans =1>> isprimitive(15)ans =0其它函数
见 Matlab 帮助.
