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马尔可夫随机场1. 引言2. 团与极大团3. MRF联合概率4. MRF的条件独立性(有向分离)条件随机场马尔可夫随机场
1. 引言
马尔可夫随机场(Markov Random Field,简称MRF),是马尔可夫网的一种,生成式模型,是一种著名的无向图模型。图中每个节点表示一个或一组变量,结点之间的边表示两个变量之间的依赖关系。马尔科夫随机场有一组势函数,非负实函数,主要用于定义概率分布函数。
2. 团与极大团
对于一个马尔科夫随机场图中的结点的一个子集,若其中任意两节点键都有边连接,则成结点子集为一个团。
若在一个团中加入另外任何一个结点都不在形成团,责成该团为极大团。
3. MRF联合概率
MRF中,多变量之间的联合概率分布能基于团分解为多个因子的乘积,每个因子仅与一个团相关。具体来说,对n个变量{x1,x2...,xn}\{x_1,x_2...,x_n\}{x1,x2...,xn}所有团构成集合为C,与团QϵCQ\epsilon CQϵC对应的变量集合记为xQx_QxQ,则联合概率P(X)P(X)P(X)为:P(X)=1Z∏QϵCψQ(xQ)P(X)=\frac {1}{Z} \prod_{Q\epsilon C}\psi_Q(x_Q)P(X)=Z1QϵC∏ψQ(xQ)其中ψQ\psi_QψQ为与团Q对应的势函数,用于对团Q中的变量关系进行建模,Z=∑x∏QϵCψQ(xQ)Z=\sum_x \prod_{Q\epsilon C}\psi_Q(x_Q)Z=∑x∏QϵCψQ(xQ)为规范化因子,以确保P(x)是被正确定义的概率。
很显然,若变量个数较多,则团的数目将会很多,这就会带来计算负担。注意到若团Q不是极大团册必被一个极大团Q∗Q^*Q∗所包含,这就意味着xQx_QxQ之间的关系不仅体现在势函数ψQ\psi_QψQ中还体现在ψQ∗\psi_Q^*ψQ∗中于是联合概率P(X)可基于极大团来定义,假定所有极大团构成的集合为C∗C^*C∗,则有P(X)=1Z∗∏QϵC∗ψQ(xQ)P(X)=\frac {1}{Z^*} \prod_{Q\epsilon C^*}\psi_Q(x_Q)P(X)=Z∗1QϵC∗∏ψQ(xQ),其中Z=∑x∏QϵC∗ψQ(xQ)Z=\sum_x \prod_{Q\epsilon C^*}\psi_Q(x_Q)Z=∑x∏QϵC∗ψQ(xQ)
4. MRF的条件独立性(有向分离)
在f给定的情况下,判断a和b的独立性。我们把a,e,c当做一个整体,由贝叶斯网络独立性分析可知左半部分和b相互独立,我们认为a和b独立,通俗点说,这就是有向分离。
而对于MRF有:
全局马尔科夫性:给定两个变量子集分离集,则这两个变量子集条件独立。
推论:
局部马尔可夫性:给定某变量的邻接变量,则该变量独立与其他变量。成对马尔科夫性:给定所有其他变量,两个非邻接变量条件独立。
条件随机场
(/p/55755fc649b1)