卡方分布
定义
设(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)(X1,X2,...,Xn)是来自总体X∼N(0,1)X\sim N(0,1)X∼N(0,1)的一个样本，则称统计量：χ2=∑i=1nXi2\chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2χ2=i=1∑nXi2所服从的分布是自由度为nnn的卡方(χ2\chi^2χ2)分布，记作χ2∼χ2(n)\chi^2\sim\chi^2(n)χ2∼χ2(n)。自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
卡方随机变量χ2(n)\chi^2(n)χ2(n)的概率密度函数为：fχ2={12n2Γ(n2)xn2−1e−x2,x>00,x⩽0f_{\chi^2} = \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, & \text{$x > 0$} \\ 0, & \text{$x \leqslant 0$} \end{cases}fχ2={22nΓ(2n)1x2n−1e−2x,0,x>0x⩽0其中，Γ(n2)=∫0∞xn2−1e−xdx，Γ(12)=π\Gamma(\frac{n}{2})=\int_{0}^{\infty}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-x}dx，\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}Γ(2n)=∫0∞x2n−1e−xdx，Γ(21)=π
卡方分布的性质
χ2(x,n)⩾0\chi^2(x,n)\geqslant 0χ2(x,n)⩾0∫−∞+∞χ2(x,n)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}\chi^2(x,n)dx=1∫−∞+∞χ2(x,n)dx=1χ2\chi^2χ2分布的可加性。设χ12∼χ2(n1)\chi_1^2\sim\chi^2(n_1)χ12∼χ2(n1)，χ22∼χ2(n1)\chi_2^2\sim\chi^2(n_1)χ22∼χ2(n1)，且χ12\chi_1^2χ12与χ22\chi_2^2χ22相互独立，则：χ12+χ22∼χ2(n1+n2)\chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1+n_2)χ12+χ22∼χ2(n1+n2)若χ2∼χ2(n)\chi^2\sim\chi^2(n)χ2∼χ2(n)，则E(χ2)=n，D(χ2)=2nE(\chi^2)=n，D(\chi^2)=2nE(χ2)=n，D(χ2)=2n
上α\alphaα分位数
设随机变量XXX的分布函数为F(x)F(x)F(x)，对于给定的正数α(0<α<1)\alpha(0<\alpha<1)α(0<α<1)，若有xαx_\alphaxα满足F(xα)=P(X⩾xα)=αF(x_\alpha)=P(X \geqslant x_\alpha)=\alphaF(xα)=P(X⩾xα)=α则称xαx_\alphaxα为分布F(x)F(x)F(x)的上的α\alphaα分位数(或上α\alphaα分位点)
χ2\chi^2χ2分布上的α\alphaα分位数
对于不同自由度nnn及不同的数α(0<α<1)\alpha(0<\alpha< 1)α(0<α<1)，定义χα2\chi_\alpha^2χα2是自由度为nnn的χ2\chi^2χ2分布的上α\alphaα分位数，如果其满足P(χ2⩾χα2)=∫χα2+∞fχ2(x)dx=αP(\chi^2\geqslant\chi_\alpha^2)=\int_{\chi_\alpha^2}^{+\infty}f_{\chi^2}(x)dx=\alphaP(χ2⩾χα2)=∫χα2+∞fχ2(x)dx=αχ2\chi^2χ2分布的上α\alphaα分位数的值可以通过查表得出，当nnn较大(n⩾45n\geqslant 45n⩾45)时，有近似公式χα2≈12(u0+2n−1)2\chi_\alpha^2 \approx\frac{1}{2}(u_0+\sqrt{2n-1})^2χα2≈21(u0+2n−1)2其中u0u_0u0为标准正态分布的上α\alphaα分位数
t分布
定义
设X∼N(0,1)，Y∼χ2(n)X\sim N(0,1)，Y\sim\chi^2(n)X∼N(0,1)，Y∼χ2(n)，且XXX与YYY相互独立，则称统计量：T=XYnT=\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}T=nYX所服从的分布是自由度为nnn的ttt分布，记为T∼t(n)T\sim t(n)T∼t(n)，ttt分布又称为学生氏分布。
ttt分布的概率密度函数为fT(x)=Γ(n+12)nπΓ(n2)(1+x2n)−n+12，−∞<x<+∞f_T(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}，-\infty<x<+\inftyfT(x)=nπΓ(2n)Γ(2n+1)(1+nx2)−2n+1，−∞<x<+∞
t分布图像的性质
概率密度函数曲线关于x=0x=0x=0对称概率密度函数在x=0x=0x=0处达到最大值概率密度函数曲线的水平渐近线为xxx轴当自由度n→∞n\to\inftyn→∞时，ttt分布将趋于N(0,1)N(0,1)N(0,1)
t分布的性质
若T∼t(n)T\sim t(n)T∼t(n)，则当n>1n>1n>1时，有E(T)=0E(T)=0E(T)=0；当n>2n>2n>2时，有D(T)=nn−2D(T)=\frac{n}{n-2}D(T)=n−2n当自由度n→∞n\to\inftyn→∞时，ttt分布将趋向于N(0,1)N(0,1)N(0,1)对于不同自由度nnn及不同的数α(0<α<1)\alpha(0<\alpha<1)α(0<α<1)，若满足P(T⩾tα)=∫tα+∞fT(x)dx=αP(T\geqslant t_\alpha)=\int_{t_\alpha}^{+\infty}f_T(x)dx=\alphaP(T⩾tα)=∫tα+∞fT(x)dx=α则定义tαt_\alphatα是自由度为nnn的ttt分布的上α\alphaα分位数。tnt_ntn分布的上α\alphaα分位数tα(n)t_\alpha(n)tα(n)可查表得出。tα(n)=t1−α(n)t_\alpha(n)=t_{1-\alpha}(n)tα(n)=t1−α(n)
F分布
定义
设X∼χ2(n1)X\sim\chi^2(n_1)X∼χ2(n1)，Y∼χ2(n2)Y\sim\chi^2(n_2)Y∼χ2(n2)，且XXX与YYY相互独立，则称统计量F=Xn1Yn2F=\frac{\frac{X}{n_1}}{\frac{Y}{n_2}}F=n2Yn1X服从自由度为n1n_1n1和n2n_2n2的FFF分布，记作：F∼F(n1,n2)F\sim F(n_1,n_2)F∼F(n1,n2)
FFF分布的概率密度函数为：fF={Γ(n1+n22)Γ(n12)Γ(n22)n1n12n2n22xn12−1(n1x+n2)n1+n22,x>00,x⩽0f_{F} = \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{n_1+n_2}{2})}{\Gamma(\frac{n_1}{2})\Gamma(\frac{n_2}{2})}n_1^{\frac{n_1}{2}}n_2^{\frac{n_2}{2}}\frac{x^{\frac{n_1}{2}-1}}{(n_1x+n_2)^{\frac{n_1+n_2}{2}}}, & \text{$x > 0$} \\ 0, & \text{$x \leqslant 0$} \end{cases}fF=⎩⎨⎧Γ(2n1)Γ(2n2)Γ(2n1+n2)n12n1n22n2(n1x+n2)2n1+n2x2n1−1,0,x>0x⩽0
FFF分布的性质
FFF分布的概率密度函数图像与χ2\chi^2χ2分布的概率密度函数类似，都是只取非负值的偏态分布对于不同自由度n1n_1n1和n2n_2n2及不同的数α(0<α<1)\alpha(0<\alpha<1)α(0<α<1)，若满足：P(F⩾Fα)=∫Fα+∞fF(x)dx=αP(F\geqslant F_\alpha)=\int_{F_\alpha}^{+\infty}f_F(x)dx=\alphaP(F⩾Fα)=∫Fα+∞fF(x)dx=α定义FαF_\alphaFα是自由度为n1n_1n1和n2n_2n2的FFF分布的上α\alphaα分位数。
