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第三讲 曲线曲面基本理论

1 概述

(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车

图 1-1 曲线曲面造型应用

曲线曲面造型 (Surface Modeling) 是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,

CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和

分析物体模型。 它在航空航天、 船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用 ( 如图 1-1 所示 ) 。由 Coons、Bezier

等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础 , 经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理

B 样条曲线曲面 (Rational B-spline Surface) 参数化特征设计和隐式代数曲线曲面 (Implicit

Algebraic Surface) 表示为主体的两类方法，且以插值 (Interpolation) 、逼近 (Approximation) 手段为

几何理论体系。

1.1 曲线曲面表示

曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。

显式表示： 形如 z f (x , y ) 的表达式。对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为 y f ( x) 。在

平面曲线方程中，一个 x 值与一个 y 值对应， 所以显式方程不能表示封闭或多值曲线， 例如，不能用显

式方程表示一个圆。

隐式表示 ：形如 f (x , y , z) 0 的表达式。如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为 f ( x , y ) 0 。

隐式表示的优点是易于判断函数 f (x , y ) 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线

上或在曲线的哪一侧。

参数表示： 形如 x f (t ) ， y f (t ) ， z f (t ) 的表达式，其中 t 为参数。即曲线上任一点的坐

标均表示成给定参数的函数。如平面曲线上任一点 P 可表示为 P(t ) [ x(t ), y(t )] ，如图 1-2(a) 所示；

空间曲线上任一三维点 P 可表示为 P(t ) [ x(t ), y(t ), z(t )] ，如图 1-2(b) 所示。

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(a) 平面曲线 (b) 空间曲线

图 1-2 曲线参数表示

最简单的参数曲线是直线段，端点为 P 、 P 的直线段参数方程可表示为

1 2

P(t ) P ( P P )t t [0,1] ； (1-1)

1 2 1

圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为

2

y 1 x (0 x 1) (1-2)

其参数形式可表示为

2

1 t 2t

P(t ) 2 , 2 t [0,1] (1-3)

1 t 1 t

计算机图形学中通常用参数形式描述曲线曲面， 因为参数表示的曲线曲面具有几何不变性等优

点，其优势主要表现在：

(1) 可以