(十六) 傅里叶级数 1、傅里叶级数：三角函数系的正交性。14. 会将定义在闭区间[-l, l)上的黎曼可积函数延拓成周期为2l的函数并展开其傅里叶级数, 会将定义在[0, l) 上的函数展开为正弦级数与余弦级数, 会写出傅里叶级数的和函数的表达式.。2 . 3 周期信号的傅利叶级数分析 1. 三角形式的傅利叶级数 令 f t 为周期信 号, 周期为 t , 且满足狄里赫利条件 * 一般 实际信 号均满足 , 则f t 可展开为 以下级数 : ∞ f t a0 + ∑ an cos nω0 t + bn sin nω0 t 2 .3 .1 n 1 c + t 1式中: a0 ∫ f t d t t c c + t 2 an ∫ f t cos n ω0 td t t c c + t 2 b f t sin n ω td t n ∫ 0 t c t其中: c 为常数 , 其值可任选 。
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小)。
傅里叶变换(fft)matlab程序一
Fs = 128; % 采样频率
T = 1/Fs; % 采样时间
L = 256; % 信号长度
t = (0:L-1)*T; % 时间
x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t - 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t - 90*pi/180); %cos为底原始信号
y = x + randn(size(t)); %添加噪声 figure; plot(t，y)
title(‘加噪声的信号’)
xlabel(‘时间(s)’)
N = 2^nextpow2(L); %采样点数，采样点数越大，分辨的频率越精确，N》=L，超出的部分信号补为0
Y = fft(y，N)/N*2; %除以N乘以2才是真实幅值，N越大，幅值精度越高
f = Fs/N*(0:1：N-1); %频率
A = abs(Y); %幅值
P = angle(Y); %相值
figure;
subplot(211);plot(f(1:N/2)，A(1:N/2)); %函数fft返回值的数据结构具有对称性，因此我们只取前一半
title(‘幅值频谱’);
xlabel(‘频率(Hz)’);
ylabel(‘幅值’);
subplot(212);
plot(f(1:N/2)，P(1:N/2));
title(‘相位谱频’);
xlabel(‘频率(Hz)’);
ylabel(‘相位’);
傅里叶变换(fft)matlab程序二
tp=0:2048; % 时域数据点数
N yt=sin(0.08*pi*tp).*exp(-tp/80); % 生成正弦衰减函数
plot(tp，yt)， axis(［0，400，-1，1］)， % 绘正弦衰减曲线
t=0:800/2048:800; % 频域点数Nf
f=0:1.25:1000;
yf=fft(yt); % 快速傅立叶变换
ya=abs(yf(1:801)); % 幅值
yp=angle(yf(1:801))*180/pi; % 相位 y
r=real(yf(1:801)); % 实部
yi=imag(yf(1:801)); % 虚部
figure subplot(2，2，1)
plot(f，ya)，axis(［0，200，0，60］) % 绘制幅值曲线
title(‘幅值曲线’)
subplot(2，2，2)
plot(f，yp)，axis(［0，200，-200，10］) % 绘制相位曲线
title(‘相位曲线’)
subplot(2，2，3)
plot(f，yr)，axis(［0，200，-40，40］) % 绘制实部曲线
title(‘实部曲线’)
subplot(2，2，4)
plot(f，yi)
title(‘虚部曲线’)
结果
傅里叶变换(fft)matlab程序三
clear all %清除内存所有变量
close all %关闭所有打开的图形窗口
%% 执行FFT点数与原信号长度相等(100点)
% 构建原信号
N=100; % 信号长度(变量@@@@@@@)
Fs=1; % 采样频率
dt=1/Fs; % 采样间隔
t=［0:N-1］*dt; % 时间序列
xn=cos(2*pi*0.24*［0:99］)+cos(2*pi*0.26*［0:99］);
xn=［xn，zeros(1，N-100)］; % 原始信号的值序列
subplot(3，2，1) % 变量@@@@@@@
plot(t，xn) % 绘出原始信号
xlabel(‘时间/s’)，title(‘原始信号(向量长度为100)’) % 变量@@@@@@@
% FFT分析
NN=N; % 执行100点FFT
XN=fft(xn，NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性
f0=1/(dt*NN); % 基频
f=［0:ceil((NN-1)/2)］*f0; % 频率序列
A=abs(XN); % 幅值序列
subplot(3，2，2)，stem(f，2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1))，xlabel(‘频率/Hz’) % 绘制频谱(变量@@@@@@@)
axis(［0 0.5 0 1.2］) % 调整坐标范围
title(‘执行点数等于信号长度(单边谱100执行点)’); % 变量@@@@@@@
%% 执行FFT点数大于原信号长度
% 构建原信号
N=100; % 信号长度(变量@@@@@@@)
Fs=1; % 采样频率
dt=1/Fs; % 采样间隔
t=［0:N-1］*dt; % 时间序列
xn=cos(2*pi*0.24*［0:99］)+cos(2*pi*0.26*［0:99］);
xn=［xn，zeros(1，N-100)］; % 原始信号的值序列
subplot(3，2，3) % 变量@@@@@@@
plot(t，xn) % 绘出原始信号
xlabel(‘时间/s’)，title(‘原始信号(向量长度为100)’) % 变量@@@@@@@
% FFT分析
NN=120; % 执行120点FFT(变量@@@@@@@)
XN=fft(xn，NN)/NN; % 共轭复数，具有对称性
f0=1/(dt*NN); % 基频
f=［0:ceil((NN-1)/2)］*f0; % 频率序列
A=abs(XN); % 幅值序列
频域中其二维傅立叶频谱除了直流成分所对应的峰外， 还存在两个对称的频谱峰，刻画了局部纹线的方向和频率：纹线频率对应于两 个频谱峰之间的距离，其方向与两峰连线的方向垂直【４习。会议期间，联合国外空司还组织有关专家开展了“gnss频谱保护和干扰检测与减轻”“空间天气及对gnss的影响”两个专题的研讨，内容涉及卫星导航原理、gnss信号特点和干扰分析、itu介绍、频谱管理、gnss干扰欺骗事件和各国目前出台的政策措施等，旨在倡导各国重视卫星导航频率保护，为gnss应用提供一个安全可靠的频率环境。 * 2、绘制圆弧(主要分为：绘制填充圆弧和绘制圆弧边框利用isfill变量来标记,注意：在绘制圆弧边框的时候还有一种特殊情况就是，只需要仅仅绘制弧边，不需要绘制圆弧开始起点和终点之间的连线，这个就是调用了beginpath()不需要调用closepath(),这里也使用一个isonlyarc变量来标记true为仅仅绘制弧边。
axis(［0 0.5 0 1.2］) % 调整坐标范围
title(‘执行点数大于信号长度(单边谱120执行点)’); % 变量@@@@@@@
%% 执行FFT点数与原信号长度相等(120点)
% 构建原信号
N=120; % 信号长度(变量@@@@@@@)
Fs=1; % 采样频率
dt=1/Fs; % 采样间隔
t=［0:N-1］*dt; % 时间序列
xn=cos(2*pi*0.24*［0:99］)+cos(2*pi*0.26*［0:99］);
xn=［xn，zeros(1，N-100)］; % 原始信号的值序列
subplot(3，2，5) % 变量@@@@@@@
plot(t，xn) % 绘出原始信号
xlabel(‘时间/s’)，title(‘原始信号(向量长度为120)’) % 变量@@@@@@@
% FFT分析
NN=120; % 执行120点FFT(变量@@@@@@@)
XN=fft(xn，NN)/NN; % 共轭复数阶越函数的傅立叶变换，具有对称性
f0=1/(dt*NN); % 基频
f=［0:ceil((NN-1)/2)］*f0; % 频率序列
A=abs(XN); % 幅值序列
subplot(3，2，6)，stem(f，2*A(1:ceil((NN-1)/2)+1))，xlabel(‘频率/Hz’) % 绘制频谱(变量@@@@@@@)
axis(［0 0.5 0 1.2］) % 调整坐标范围
title(‘执行点数等于信号长度(单边谱120执行点)’); % 变量@@@@@@@
结果
