计量良心OLS大法在解释变量与扰动项不相关时较为常用，一旦二者出现相关性往往无法解决，此时OLS估计可能不一致，问题产生原因可能是遗漏变量、联立偏差等。较为常见的解决方法是使用工具变量法。
本文以y=a0+a1∗c+uiy=a0+a1*c+uiy=a0+a1∗c+ui为例，yyy为被解释变量，ccc为解释变量，但模型有内生性，此时选取工具变量为xxx。
工具变量的选择
首先工具变量的选择要满足两个条件：
相关性：工具变量与内生解释变量相关，即Cov（x，c）≠0Cov（x，c）≠0Cov（x，c）=0外生性：工具变量与uiuiui不相关，即Cov（x，ui）=0Cov（x，ui）=0Cov（x，ui）=0
两阶段最小二乘法
核心思路：c与ui相关，将c中与ui相关的部分分力出去，只留下与其不相关部分；其中转换工具被称为工具变量（IV）。第一阶段
构造c=b0+b1∗x+vic=b0+b1*x+vic=b0+b1∗x+vi，通过OLS估计的参数，拟合出c^\hat{c}c^。此时c与ui相关，c^\hat{c}c^与ui不相关
第二阶段
通过y与c^\hat{c}c^构模型y=b0+b1∗c^+eiy=b0+b1*\hat{c}+eiy=b0+b1∗c^+ei，估计出b1，b0b1，b0b1，b0即为需求参数。
tips：证明c^\hat{c}c^与eieiei正交
通过模型c=a0+a1∗x+vic=a0+a1*x+vic=a0+a1∗x+vi估计出a0,a1a0,a1a0,a1，再拟合出c^=a0+a1∗x\hat{c}=a0+a1*xc^=a0+a1∗x
原模型y=a0+a1∗c+uiy=a0+a1*c+uiy=a0+a1∗c+ui可化为：
y=a0+a1∗c^+[a1∗(c−c^)+ui]y=a0+a1*\hat{c}+[a1*(c-\hat{c})+ui]y=a0+a1∗c^+[a1∗(c−c^)+ui]
其中ei=[a1∗(c−c^)+ui]ei=[a1*(c-\hat{c})+ui]ei=[a1∗(c−c^)+ui]
Cov(c^,ei)=Cov(c^,ui)+a1Cov(c^,c−c^)Cov(\hat{c},ei)=Cov(\hat{c},ui)+a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})Cov(c^,ei)=Cov(c^,ui)+a1Cov(c^,c−c^)
其中c−c^=vi,Cov(c^,vi)=0c-\hat{c}=vi,Cov(\hat{c},vi)=0c−c^=vi,Cov(c^,vi)=0，所以a1Cov(c^,c−c^)=0a1Cov(\hat{c},c-\hat{c})=0a1Cov(c^,c−c^)=0由于外生性要求：工具变量与uiuiui不相关，即Cov（x，ui）=0Cov（x，ui）=0Cov（x，ui）=0，而xxx与c^\hat{c}c^为线性函数，所以Cov(c^,ui)=0Cov(\hat{c},ui)=0Cov(c^,ui)=0
进而得出c^\hat{c}c^与eieiei正交，即Cov(c^,ei)=0Cov(\hat{c},ei)=0Cov(c^,ei)=0
相关检验
首先对于选用OLS还是工具变量法，需要进行豪斯曼检验
此方法中工具变量的选取最为关键，可能有三种情况：
不可识别：需要工具变量个数<内生变量个数恰好识别：需要工具变量个数=内生变量个数过度识别：需要工具变量个数>内生变量个数
其对应需要进行的检验为：不可识别检验弱工具变量检验过度识别检验
代码相关
/weixin_47325163/article/details/119941326?spm=1001..3001.5501
