如图,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点,抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称.
(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;
(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E分别作EF∥x轴,EG∥y轴并交直线AD于点F、G,求△EFG周长的最大值;
(3)若点P为y轴上的动点,则在抛物线上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
考点分析;
二次函数综合题.
题干分析:
(1)先求得点C的坐标,然后再求得抛物线的对称轴,由点C与点D关于x=1对称可求得点D的坐标,把y=0代入抛物线的解析式可求得对应的x的值,从而可得到点A的坐标,然后利用待定系数法求得直线AD的解析式即可;
(2)首先证明△EFG为等腰直角三角形,则表示出△EFG的周长,设E(t,﹣t2+2t+3),则G(t,t+1),然后得到EG与t的函数关系式,利用配方法可求得EG的最大值,最后依据△EFG的周长求解即可;
(3)分为AD为平行四边形的边和AD为平行四边形的对角线时,两种情况,可先利用平行四边形的性质求得点Q的横坐标,然后将点Q的横坐标代入抛物线的解析式可求得点Q的纵坐标.
解题反思:
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质,列出EG的长与t的函数关系式是解答问题(2)的关键,利用平行四边形的性质求得点Q的横坐标是解答问题(3)的关键。