#初中数学学习#
01
单元要点
圆是最美的图形，其中有一个非常重要的特性，就是在旋转的过程中，圆的所有性质都不变。
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且其绕对称中心旋转任意角度，图形都不会发生变化。
在本单元新课学习阶段，我们已经通过实验、观察等方式，发现了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，明确了生活中的许多事物之间是相互联系、相互转化的。
本节内容的核心知识点是：在同圆或等圆中，圆心角相等、圆周角相等、弧相等、弦心距相等，已知其中任意一组量相等，就可以知道其他各组量也相等。
在本单元的中考考查中，围绕相关定理进行综合命题，也是考试中常见的一种方式。比如第12题，以圆周角定理为核心，融合考查了“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，推论：“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”，“90°的圆周角所对的弦是直径”等，还考查了垂径定理和平行四边形的性质。
此题的解答过程，也充分利用了圆周角定理，得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断。
在中考中，任何一个考题，考查的都是我们的综合运用能力和逻辑分析能力，需要我们在学习中不断地提升这种能力，以求得数学知识的最优化。
现在，请大家走进圆的世界吧！
02
阅读说明
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03
中考真题精选
04
参考答案
05
经典题目解析
一、选择题
1. 考点圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．
分析直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
2. 考点M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
分析根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
3. 考点MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
分析连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60°，属于利用弧长公式l= 来计算劣弧 的长．
4. 考点M5：圆周角定理．
分析连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
5. 分析连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出DH= =4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
6. 分析先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
7. 分析根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
8. 分析根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
9. 分析由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．
10. 分析根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．
11. 分析连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．
点评本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
12. 分析利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断．
点评此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．
13. 分析根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．
点评本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．
14. 分析连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．
点评本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15. 答案B.根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
二、填空题
16. 分析：连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB= ，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
17. 考点圆周角定理；等腰三角形的性质．
分析连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，求出AE，再由勾股定理求出BE即可．
18. 答案32。试题分析：由∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.
考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质
19. 分析利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．
20. 分析连接 并延长交 于 ，连接 ，于是得到 ， ，解直角三角形即可得到结论．
点评本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21. 分析先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
22. 分析连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键。
23. 分析过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．
点评本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
24. 分析（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
点评本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
25. 分析连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出 ＝ ，进而得出 ＝ ，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．
点评本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26. 分析（1）由AB＝CD知 ＝ ，即 + ＝ + ，据此可得答案；
（2）由 ＝ 知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
点评本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
27. 分析（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接 ，根据平角定义得到 ，根据圆周角定理得到 ，求得 ，得到 ，根据弧长公式即可得到结论．
点评本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．
29. 分析（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；
（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出 = ．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例，进而求出 ．
点评本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线是解题的关键．
