如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、D两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(0,4),已知点E(m,0)是线段DO上的动点,过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;
(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)设交点式y=a(x﹣1)(x+3),然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式;
(2)先解方程﹣4x2/3﹣8x/3+4=4,解得x1=0,x2=﹣2,则﹣2<m<0,设P(m,﹣4m2/3﹣8m/3+4),G(m,4),则可用m表示PG;
(3)易得△DEH∽△DOB,则判定△PGB与△BOD,由于∠PGB=∠DOB,根据相似三角形的判定方法,当PG/OB=BG/OD时,△PGB∽△BOD,则△PGB∽△HED,当PG/OD=BG/BO时,△PGB∽△DOB,则△PGB∽△DEH,然后分别利用相似比列关于m的方程,再解方程求出m,从而得到满足条件的m的值.