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今天，我们一起来看一道数列题，题目如下：
这是 年北京高考理科卷的压轴题，题目中没有考查等差数列和等比数列等我们熟悉的东西，而是新定义了一个概念，这种题型一般没有固定套路，唯一的套路就是仔细读题，理解清楚题目的意思，并按照题目的意思，将题目转化成我们学过的东西，下面我们一起来做一下：
第一小题很简单，按照题目的定义，数列的递增子列就是从左到右找出递增的元素组成一个新的数列，我们随便找一个，满足两个条件就行：
子列元素是从左到右找的。子列是单调递增的。1，3，5，9
第一小题一方面是为了防止大家一分都得不了，另一方面就是加深我们理解递增子列的含义。
第二小题其实也很简单： 比较两个不同长度子列末项最小值，那么肯定是越长的越大，因为长的递增子列中肯定能找一个短的递增子列。证明如下：
第三小题：题目很长，多读几遍题目，理解清楚题目的意思。如果没有很整体思路我们可以列出来前几项：
当 S = 1 时，子列的长度为 1 ，末项最小值为 1 ，这样的子列有 1 个，很明显原数列中包含一个 1 就满足题意了。
当 S = 2 时，子列的长度为 2 ，末项最小值为 3 ，这样的子列有 2 个。2 个元素的递增子列末项最小值为 3 ，说明如果有元素 2 的话，2 肯定排在 1 的前面，因为只有这样末项最小值才不会为 2 ，而这样的子列有 2 个，说明有元素 2 ，所以 1、2、3 这三个元素的排列顺序是 2 1 3(递增子列为 1 3 和 2 3 )。
当 S = 3 时，子列的长度为 3 ，末项最小值为 5 ，这样的子列有 4 个。3 个元素的递增子列末项最小值为 5 ，说明如果有元素 4 的话，4 肯定排在 3 的前面，因为这样末项最小值才不会为 4 ，而这样的子列有 4 个，说明有元素 4 ，所以 1、2、3、4、5 这三个元素的排列顺序是 2 1 4 3 5(递增子列为 2 4 5 、2 3 5、1 4 5、1 3 5 )。
其实算到这我们就能看出端倪了，我们可以再往下写两项 ：
S = 4 时，1 2 3 4 5 6 7 的排列顺序是 2 1 4 3 6 5 7，
S = 5 时，1 2 3 4 5 6 7 8 9 的排列顺序是 2 1 4 3 6 5 8 7 9，
所以原数列为 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9……
接下来我们来证明一下我们归纳出来的数列满足条件：
我们将数列分为两两一组 (2 1) (4 3) (6 5) (8 7) (10 9)……，后一组中的元素总是大于前一组的元素，而同一组中的元素是递减的，所以长度为 S 的子列末项最小值应该在第 S 组，因为每组之间最多取一个，而第 S 组的最小值为 2S - 1。而这样数列有 2^(S-1) 个，因为前 S - 1每组随机选一个，一共有 2^(S-1) 种选择：
接下来，我们写出通项公式，首先这个数列是在 bn = n 的基础上变换过来的，所以我们将an 其表示为 bn 加减 1 的形式：
小结
这道数列题既没有考察等比数列、等差数列，也没有考察前 n 项和放缩的概念，而是重新定义了一个递增子列的概念，然后围绕这个概念提出了几个问题。
这类题没有固定的套路，做这种题就是要认真读题，快速理解题目的意思和涉及到的新定义的含义，然后将其转化为我们学过的知识，肯定不会超出我们学习范围：
当题目的问题不太好理解时，先列出前几项来，通过列出前几项来理解题目的意思，帮助我们找到解题的思路。有时候还能直接归纳出我们要的结论（本题就是），然后我们再证明就行了。数学的题型是没有明显的界限的，例如三角函数题可以变换成数列题，函数题也可以变换成数列题，数列题也能变成函数题等等，这些在高考题中都是很常见的，这道数列题就有点排列组合的意思。所以我们不能陷入某些固定思维，要学会举一反三。想了解更多精彩内容，快来关注默契小甜瓜
