已知:如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)根据抛物线过C(0,4)点,可确定c=4,然后可将A的坐标代入抛物线的解析式中,即可得出二次函数的解析式.
(2)可先设Q的坐标为(m,0);通过求△CEQ的面积与m之间的函数关系式,来得出△CQE的面积最大时点Q的坐标.
△CEQ的面积=△CBQ的面积﹣△BQE的面积.
可用m表示出BQ的长,然后通过相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ边上的高,进而可根据△CEQ的面积计算方法得出△CEQ的面积与m的函数关系式,可根据函数的性质求出△CEQ的面积最大时,m的取值,也就求出了Q的坐标.
(3)本题要分三种情况进行求解:
①当OD=OF时,OD=DF=AD=2,又有∠OAF=45°,那么△OFA是个等腰直角三角形,于是可得出F的坐标应该是(2,2).由于P,F两点的纵坐标相同,因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标.
②当OF=DF时,如果过F作FM⊥OD于M,那么FM垂直平分OD,因此OM=1,在直角三角形FMA中,由于∠OAF=45°,因此FM=AM=3,也就得出了F的纵坐标,然后根据①的方法求出P的坐标.
③当OD=OF时,OF=2,由于O到AC的最短距离,因此此种情况是不成立的.
综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标.