初一数学几何压轴题：角与旋转 有点难！

1、 如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．

（注：∠DOE=90°）

（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=________°；

（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；

（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）20

（2）解：如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，

∵∠DOE=90°，

∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，

∵∠BOC=70°，

∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°

（3）解：∠COE-∠BOD=20°，理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，

∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）

=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD

=∠COE-∠BOD

=90°-70°

=20°，

即∠COE-∠BOD=20°

【考点】角的平分线，角的运算，余角、补角及其性质

【解析】【解答】⑴如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°；

【分析】（1）根据角度的换算可知∠COE和∠BOC互余，那么根据∠COB=70°可得∠COE=20°；

（2）根据角平分线和∠BOC可得∠BOE=140°，∠COE=∠BOC=90°，所以它的余角∠COD=20°；

（3）一个是直角∠EOD，，一个是70°∠BOC，这两个角里都包含了同一个角∠COD，那么大家都减去这个∠COD的度数，剩下的两角差与原两角差是一致的，所以可得出结论∠COE-∠BOD=20°。

2、 如图，已知∠AOB=120°，OC⊥OB，按下列要求利用量角器过点O作出射线OD、OE；

（1）在图①中作出射线OD满足∠COD=50°，并直接写出∠AOD的度数是________；

（2）在图②中作出射线OD、OE，使得OD平分∠AOC，OE平分∠BOD，并求∠COE的度数；

（3）如图③，若射线OD从OA出发以每秒10°的速度绕点O顺时针方向旋转，同时射线OE从OC出发以每秒5°的速度绕点O顺时针方向旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转过程中，当OB第一次恰好平分∠DOE时，求出t的值，并作出此时OD、OE的大概位置.

【答案】

（1）20°或80°

（2）解：如图，

∵CO⊥BO ∴∠COB=90° ∵∠AOB=120° ∴∠AOC=120°-90°=30° ∵OD平分∠AOC ∴∠COD=0.5∠AOC=15° ∴∠BOD=90°+15°=105°, ∵OE是∠BOD的平分线

∴∠EOD= 0.5∠BOD=52.5° ∴∠COE=52.5°-15°=37.5°.

（3）解：如图，

根据题意有： 30°+5t+(90°-5t)×2=10t 解得：t=14.

【考点】角的平分线，角的运算

【解析】【解答】解：（1）有两种情况分别是：

①当OD在∠AOB内部时，如图，

∵CO⊥BO

∴∠COB=90°

∵∠AOB=120°

∴∠AOC=120°-90°=30°

∵∠COD=50°,

∴∠AOD=50°+30°=80°;

②当OD在∠AOB外部时，如图，

∵CO⊥BO

∴∠COB=90°

∵∠AOB=120°

∴∠AOC=120°-90°=30°

∵∠COD=50°,

∴∠AOD=50°-30°=20°

【分析】（1）有两种情况分别是：①当OD在∠AOB内部时，如图，根据垂直的定义及角的和差，由∠AOC=∠AOB-∠BOC即可算出∠AOC的度数，最后根据∠AOD=∠AOC+∠COD即可算出答案；②当OD在∠AOB外部时，如图，根据垂直的定义及角的和差，由∠AOC=∠AOB-∠BOC即可算出∠AOC的度数，最后根据∠AOD=∠COD-∠COA即可算出答案；

（2）根据垂直的定义及角的和差，由∠AOC=∠AOB-∠BOC即可算出∠AOC的度数，根据角平分线的定义得出 ∠COD=0.5 ∠AOC算出 ∠COD的度数， 根据角的和差，由∠BOD=∠COD+∠BOC算出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠EOD=0.5 ∠BOD得出∠EOD的度数，最后根据∠COE=∠EOD- ∠COD算出答案；

（3）根据题意∠AOD=10t,∠COE=5t,根据角的和差得出∠BOD=∠AOD-∠AOB=10t-120°,∠BOE=∠COB-∠COE=90°-5t，然后根据角平分线的定义得出∠BOD=∠BOE，从而列出方程，求解即可。