5.如图,抛物线 y=ax2+2x+c(a<0)与 x 轴交于点 A 和点 B(点 A 在原点的左侧,点 B 在原点的右侧),与 y 轴交于点 C,OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)如图1,连接 BC,点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点,连接 OD,CD,OD 交 BC 于点 F,当S△COF:S△CDF=3:2 时,求点 D 的坐标.
(3)如图2,点 E 的坐标为(0,- 3/2),在抛物线上是否存在点 P,使 ∠OBP=2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】
解:
(1)c=3,点 B(3,0),
将点 B 的坐标代入抛物线表达式:y=ax2+2x+3 中,
解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3 ;
(2)如图1,过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H,交 BC 于点 M,
图1
∵ S△COF:S△CDF=3:2,
∴ OF:FD=3:2,
∵ DH∥CO,CO = 3 ,
∴ CO:DM=3:2,即 DM=2/3 CO=2,
由 B、C 两点的坐标得:直线 BC 的表达式为:y=﹣x+3,
设点 D(x,﹣x2+2x+3),则点 M(x,﹣x+3),
DM=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=2,
解得:x=1 或 2,
故点 D(1,4)或(2,3);
(3)① 当点 P 在 x 轴上方时,如图2 所示,
取 OG=OE,连接 BG,过点 B 作直线 PB 交抛物线于点 P,交 y 轴于点 M,使 ∠GBM=∠GBO,
则 ∠OBP=2∠OBE,过点 G 作 GH⊥BM 于点 H,
图2
设 MH=x,则 MG=√(x2 + 9/4),
在 △OBM 中,OB2 + OM2 = MB2,
故 MG=√(4 + 9/4)= 5/2,则点 M(0,4),
由 B、M 两点的坐标得:直线 BM 的表达式为:y=﹣4/3 x + 4,
联立 y=﹣x2+2x+3 与 y=﹣4/3 x + 4,
解得 x = 3(舍去)或 1/3,
故点 P(1/3 ,32/9);
②当点 P 在 x 轴下方时,如图3 所示,
过点 O 作 OD ⊥ BE 于点 D,延长 OD 使 OD = DF,连接 BF 交 y 轴于点 G,交抛物线于点 P,
则有 ∠OBP=2∠OBE,
图3
连接 EF,易知 △OBE≌△FBE(SAS),则有 ∠EOB = ∠EFB = 90°,
设 GF = x,则 EG = √(x2 + 9/4),
在 △BOG 中,BO2 + OG2 = BG2,
故 EG = √(4 + 9/4)= 5/2,OG = 4,则点 G(0,-4),
由 B、G 两点的坐标得:直线 BG 的表达式为:y= 4/3 x - 4,
联立 y=﹣x2+2x+3 与 y= 4/3 x - 4,
解得 x = 3(舍去)或 -7/3,
故点 P(-7/3 ,-64/9);
综上,点 P 的坐标(1/3 ,32/9)或(-7/3 ,-64/9).
【分析】
(1)掌握二次函数图像与坐标轴的交点所表示的含义,很容易求出二次函数的解析式。
(2)由 S△COF:S△CDF=3:2,可知两个三角形等高不等底,即转化成底边 OF :FD = 3:2,
OC = 3 已知,∠CFO = ∠DFB(对顶角),OF :FD = 3:2,想到构造相似三角形,就要作辅助线,从而求出线段 DM = 2。
点 D 是抛物线上的点,点 M 是直线 BC 上的点,而且横坐标相等,先把横坐标设出来,利用函数解析式把它们的坐标表示出来,结合 DM = 2,从而可求出点 D 的坐标。
(3)在抛物线上是否存在点 P,使 ∠OBP=2∠OBE?这是一个非常重要的条件,今后如遇此类问题如何分析?是一个难点,考场时间毕竟有限,只要思路清晰、方法恰当就能突破这个难点,这就需要平时做题包括考试一定要总结积累经验。
首先 ∠OBE 是个锐角,而且是个小于 45° 的锐角(OB = 3 , OE = 3/2 , tan∠OBE = 1/2 , tan45° = 1),
所以 ∠OBP=2∠OBE 小于 90°,也是个锐角,这样就可以确定 P 点的位置只有两种情况,这时就需要分类讨论了。
其次,如何做出这样的角等于已知角的二倍,就要想到 “尺规作图”!
情况一:
情况二:
都是利用 “等腰三角形三线合一的性质”,做出 ∠OBP=2∠OBE !
最后,如何求出点 P 的坐标,这就需要计算了!
大体思路是:
点 P 是一次函数图像与二次函数图像的交点,只要把一次函数的解析式求出来,就可以求出点 P 的坐标。
如何求一次函数的解析式?两点确定一条直线,可以通过待定系数法来求,点 B 的坐标已知,只要求出一次函数图像与 y 轴交点的坐标来就可以求出一次函数的解析式来了。
求与 y 轴交点的坐标情况一、二,都是通过 “勾股定理” 来求的,通过勾股定理建立一个方程,本题解方程比较复杂,通过平方先把 “无理式” 转化成 “有理式”,来解方程。
最后,联立一次函数与二次函数解方程求交点坐标,解一元二次方程时,一定要熟练掌握求根公式!