一、选择题:(本大题共有12道小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合 , ,则 ( B )
A. B. C. D.
2. 下列函数中既是奇函数,又在 上单调递增的是 ( C )
A. B. C. D.
3. 给出两个命题:命题 命题“存在 ”的否定是“任意 ”;命题 :函数 是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )
A. B. C. D.
4.若函数f(x)=x2-ax- a在区间[0,2]上的值为1,则实数a等于( D )
A.-1 B.1 C.-2 D. 2
5 已知函数 是函数 的导函数,则 的图象大致是( A )
A. B. C. D.
6.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且 的一个充分不必要条件是 ,则a的取值范围是 (B)
A.(-∞,1]B.[1,+∞) C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]
7.7. 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是 ( B)
A.(0,2) B.(-∞,1] C.(-∞,1) D.(0,2]
8.若f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为(C )
A.(1,+∞) B.(4,8) C.[4,8) D.(1,8)
9. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当 时,不等式 成立,若a=30.2 f(30.2),b= (logπ2) f(logπ2), c= f ,则 , , 间的大小关系 ( A )
A. B. C. D.
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f( )+f( )≤2f(2),则a的取值范围是(D)
A.(-∞,4] B. (0,4] C. D.
11.(文)已知 是奇函数,则 ( A )
A..14 B. 12 C. 10 D.-8
11. (理)若函数 的大小关系是 (C )
A. B.
C. D.不确定
12.已知函数y=f(x)为奇函数,且 对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1).给出以下4个结论:其中所有正确结论的为 ( A )
①函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称;
②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;
③函数y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增;
④当x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x).
A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④
二、填空题(本大题共有4道小题,每小题5分,共20分)
13.已知实数 满足 则 的值__-4_______
14. 已知 ,则函数 在点 处的切线 与坐标轴围成的三角形面积为 .
15. 若函数 ( )满足 且 时, ,函数 ,则函数 在区间 内零点的个数有__12_个.
16. 存在区间 ( ),使得 ,
则称区间 为函数 的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数:
① ;② ;③ ; ④
其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .(把所有正确的序号都填上)
三、解答题(本大题共有5道小题,每小题12分,共60分)
17.(本小题满分12分)
设向量 , ,其中 , ,函数
的图象在 轴右侧的第一个点(即函数取得值的点)为 ,在原点右侧与 轴的第一个交点为 .
(Ⅰ)求函数 的表达式;
(Ⅱ)在 中,角A,B,C的对边分别是 ,若 ,
且 ,求边长 .
解:解:(I)因为 , -----------------------------1分
由题意 , -----------------------------3分
将点 代入 ,得 ,
所以 ,又因为 -------------------5分
即函数的表达式为 . --- ------------------6分
(II)由 ,即
又 ------------------------8分
由 ,知 ,
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.(文)(本小题满分12分)为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:
评估的平均得分
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
(Ⅰ)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】:
(Ⅰ)6条道路的平均得分为 .-----------------3分
∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分
(Ⅱ)设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ”. -----7分
从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为: , , , , , , , , , , , , , , ,共 个基本事件. -----------------9分
事件 包括 , , , , , , 共 个基本事件,
∴ .
答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 .------12分
18.(理)(本小题满分l 2分)
在全国高校自主招生考试中,某高校设 计了一个面试考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定:至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23,且每题正确回答与否互不影响.
(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望;
(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.
解析:(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η,则ξ的可能取值为1,2,3,P(ξ=1)=C14C22C36=15 ,P(ξ=2)=C24C12C36=35,P(ξ=3)=C34C02C36=15,
∴考生甲正确完成题数的 分布列为
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分
又η~B(3,23),其分布列为P(η=k)=Ck3•(23)k•(13)3-k,k=0,1,2,3;
∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分
(II)∵Dξ=(2-1)2×15+(2-2)2×35+(2-3)2×15=25,
Dη=npq=3×23×13=23, ∴Dξ ∵P(ξ≥2)=35+15=0.8,P(η≥2)=1227+827≈0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2). ………………10分 从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.………………12分 19(理)在四棱锥 中, 平面 , 是 的中点, , , . (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值. 解:(Ⅰ)取 的中点 ,连接 , , 则 ∥ . 因为 所以 .………………………………1分 因为 平面 , 平面 所以 又 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分 因为 平面 ,所以 ⊥ ; 又 ∥ ,所以 ; 又因为 , ; 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分 因为 平面 ,所以 …………………… ……6分 (注:也可建系用向量证明) (Ⅱ)以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 , , , , , , . ………………………………………………8分 设平面 的法向量为 ,则 所以 令 .所以 . ……………………9分 由(Ⅰ)知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ . 同理 ⊥ .所以 平面 所以平面 的一个法向量 . …………………10分 所以 , ……………………11分 由图可知,二面角 为锐角, 所以二面角 的余弦值为 . ……………………12分 19.(文)在四棱锥 中, 平面 , 是 的中点, , , . (Ⅰ)求证: ∥平面 ; (Ⅱ)求证: . 证明:(Ⅰ)取 的中点 ,连接 , . 则有 ∥ . 因为 平面 , 平面 所以 ∥平面 .……………………2分 由题意知 , 所以 ∥ . 同理 ∥平面 .…………………4分 又因为 平面 , 平面 , 所以 平面 ∥平面 . 因为 平面 所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分 (Ⅱ)取 的中点 ,连接 , ,则 ∥ . 因为 ,所以 .………………………………… ……7分 因为 平面 , 平面 ,所以 又 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分 因为 平面 所以 ⊥ 又 ∥ ,所以 又因为 , 所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分 因为 平面 所以 ………………………………………………………………12分 20. (本小题满分12分) 已知椭圆 的离心率为 ,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切.. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若直线 与椭圆C相交于A、B两点,且 ,判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由. 【解析】: (1)由题意知 ,∴ ,即 , 又 ,∴ , 故椭圆的方程为 4分 (II)设 ,由 得 12分 21.(文)已知函数 ,其中a∈R. (1)当 时,求曲线 在点 处的切线的斜率; (2)当 时,求函数 的单调区间与极值. 解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e. 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e. …4分 (2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex 令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2, …6分 由a≠23知,-2a≠a-2. 以下分两种情况讨论: ①若a>23,则-2a x (-∞,-2a) -2a (-2a,a-2) a-2 (a-2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. 函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. …9分 ②若a<23,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a (-2a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数. 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a. …12分 21. (理)已知函数 ( ). (1) 当 时,证明:在 上, ; (2)求证: . 解:(1) 根据题意知,f′(x)=a1-xx (x>0), 当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1]; 当a=0时,f(x)不是 单调函数. 所以a=-1时,f( x)=-ln x+x-3, 在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)>f(1 ), 即f(x)>-2,所以f(x)+2>0. …………6分 (2) 由(1)得-ln x+x-3+2>0,即-ln x+x-1>0, 所以ln x 则有0 ∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn< 12•23•34•…•n-1n=1n(n≥2,n∈N*). …12分 四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD. (Ⅰ )求证:直线AB是⊙O的切线; (Ⅱ)若tan∠CED=12,⊙O的半径为3,求OA的长. 解:(1)证明:连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥OB,又∵OC是圆的半径,∴AB是圆的切线. ……4分 (2)∵ED是直径,∴∠ECD=90°,∴∠E+∠EDC=90°, 又∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC, ∴△BCD∽△BEC,∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE, 又tan∠CED=CDEC=12,△BCD∽△BEC,BDBC=CDEC=12, 设BD=x,则BC=2x,∵BC2=BD•BE,∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2, ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分 23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 (t为参数), ( 为参 数). (Ⅰ)化 , 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点,求 . 解:⑴ 曲线 为圆心是 ,半径是1的圆. 曲线 为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆.……4分 ⑵曲线 的左顶点为 ,则直线 的参数方程为 ( 为参数) 将其代入曲线 整理可得: ,设 对应参数分别为 ,则 所以 ……………10分 24.(本小题满分10分)选 修4—5:不等式选讲 已知函数 ,且 的解集为 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ,且 ,求证: . 解:(Ⅰ)因为 ,所以 等价于 ,…2分 由 有解,得 ,且其解集为 . …4分 又 的解集为 ,故 .…(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又 , …7分∴ ≥ =9.9分 (或展开运用基本不等式) ∴ ….10分