一、填空题（每空2分，共22分）
1．方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是，常数项是．
2．已知关于x的一元二次方程4x2+（k+1）x+2=0的一个根是2，那么k=，另一根是．
3．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．
4．二次函数y=﹣3x2+6x+9的图象的开口方向，它与y轴的交点坐标是．
5．已知抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是．
6．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是．
7．当k时，抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方．
8．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．
二、选择题（每空3分，共24分）
9．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为
A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对
10．设a是方程x2+x﹣=0的一个实数根，则a2+a﹣1的值为
A． B． C． D．
11．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，设年增长率为x，则可列方程为
A． 10（1+x）2=12.1 B． 10（1﹣x）2=12.1 C． 10（1+2x）2=12.1 D． 10（1﹣2x）2=12.1
12．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是
A． 1 B． 5 C． ﹣5 D． 6
13．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是
A． 方程有两个不相等的实数根
B． 方程有两个相等的实数根
C． 方程没有实数根
D． 方程的根的情况与k的取值有关
14．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
15．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于
A． 4 B． 8 C． ﹣4 D． 16
16．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是
A． a＜0 B． abc＞0 C． a+b+c＞0 D． b2﹣4ac＞0
三、计算题（每4分，共16分）
17．用你熟悉的方法解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．
18．用配方法解方程：2x2+1=3x．
19．用两种方法解方程：x2﹣6x﹣7=0．
四、简答题（共38分）
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润？利润是多少？
22．在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的处B点的坐标为（6，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米， =3.873）
23．某校团委准备举办学生绘画展览，为了美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍，求彩纸的宽度．
-学年x疆巴州蒙古族高中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每空2分，共22分）
1．方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是﹣3，常数项是0．
考点： 一元二次方程的一般形式．
分析： 根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案．
解答： 解：方程﹣3x2﹣2x=0的二次项系数是﹣3，常数项是0，
故答案为：﹣3；0．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
2．已知关于x的一元二次方程4x2+（k+1）x+2=0的一个根是2，那么k=﹣10，另一根是 ．
考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析： 可设出方程的另一个根，根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之积是﹣4，两根之和是﹣k，即可列出方程组，解方程组即可求出k值和方程的另一根．
解答： 解：设方程的两个根分别是x1、x2．
又∵x2=2
∴根据韦达定理，得
，
解得 ，
故答案为：﹣10， ．
点评： 考查了一元二次方程的解，能够对方程进行适当的变形是解答本题的关键，难度不大．
3．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤9，且k≠0．
考点： 根的判别式．
分析： 若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解答： 解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，
即k≤9，且k≠0
点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
4．二次函数y=﹣3x2+6x+9的图象的开口方向向下，它与y轴的交点坐标是（0，9）．
考点： 二次函数的性质．
分析： 根据a=﹣3可判断函数开口的方向；令x=0，可求y的值，即可求出与y轴的交点坐标．
解答： 解：∵a=﹣3＜0，
∴图象开口向下；
把x=0代入函数解析式，得y=9．
∴函数与y轴的交点坐标是（0，9）．
点评： 二次函数，当a＞0时，图象开口向上；当a＜0时，图象开口向下．求与y轴的交点，也就是让x=0求出y的值．
5．已知抛物线y=﹣2（x+1）2﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x＞﹣1．
考点： 二次函数的性质．
分析： 根据二次函数的图象开口方向及对称轴求解．
解答： 解：因为a=﹣2＜0，抛物线开口向下，
又对称轴为直线x=﹣1，
所以当y随x的增大而减小时，x＞﹣1．
点评： 主要考查了二次函数的单调性．
6．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是y=（x+4）2﹣2或y=x2+8x+14．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 因为抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，所以新抛物线的解析式为y=（x+4）2﹣2．
解答： 解：∵向左平移4个单位后，再向下平移2个单位．∴y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14．故此时抛物线的解析式是y=（x+4）2﹣2=x2+8x+14．
点评： 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．当k 时，抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方．
考点： 二次函数的性质．
分析： 此题可先求出抛物线y=x2﹣3x+k的顶点坐标，又因顶点在x轴上方，所以只需令顶点纵坐标大于0即可．
解答： 解：将抛物线y=x2﹣3x+k变形，得：y=（x﹣ ）2+k﹣ ，
又顶点在x轴上方，则需令k﹣ ＞0，解不等式得：k＞ ，
则当k＞ 时，抛物线y=x2﹣3x+k的顶点在x轴上方．
点评： 本题考查了二次函数的性质，将顶点坐标与不等式结合起来，有一定的综合性．
8．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为（9﹣2x）•（5﹣2x）=12．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（9﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是12cm2即可列出方程．
解答： 解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）=12，
故填空答案：（9﹣2x）•（5﹣2x）=12．
点评： 此题首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
二、选择题（每空3分，共24分）
9．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为
A． 14 B． 12 C． 12或14 D． 以上都不对
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
分析： 易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解答： 解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
点评： 本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．
10．设a是方程x2+x﹣=0的一个实数根，则a2+a﹣1的值为
A． B． C． D．
考点： 一元二次方程的解；代数式求值．
分析： 根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+a）的值．
解答： 解：根据题意，得
a2+a﹣=0，
解得，a2+a=，
所以a2+a﹣1=﹣1=．
故选：C．
点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
11．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，设年增长率为x，则可列方程为
A． 10（1+x）2=12.1 B． 10（1﹣x）2=12.1 C． 10（1+2x）2=12.1 D． 10（1﹣2x）2=12.1
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 如果设年增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10（1+x）2=12.1．
解答： 解：设每年的增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，
故选A．
点评： 本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
12．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是
A． 1 B． 5 C． ﹣5 D． 6
考点： 根与系数的关系．
分析： 依据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2=﹣ ，这里a=1，b=﹣5，据此即可求解．
解答： 解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．
故选B．
点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答这类题学生常常因记不准确上面的根与系数的关系式而误选C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．
13．方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是
A． 方程有两个不相等的实数根
B． 方程有两个相等的实数根
C． 方程没有实数根
D． 方程的根的情况与k的取值有关
考点： 根的判别式．
分析： 求出方程的判别式后，根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．
解答： 解：∵方程的△=k2+4＞0，
故方程有两个不相等的实数根．
故选A
点评： 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
14．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是
A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
解答： 解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选B．
点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
15．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于
A． 4 B． 8 C． ﹣4 D． 16
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0．据此作答．
解答： 解：根据题意，得 =0，
解得c=16．
故选D．
点评： 本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单．
16．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是
A． a＜0 B． abc＞0 C． a+b+c＞0 D． b2﹣4ac＞0
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线开口向下得到a＜0，由抛物线与y轴交于正半轴知道c＞0，而称轴在y轴左边，得到﹣ ＜0，所以b＜0，abc＞0，而抛物线与x轴有两个交点，得到b2﹣4ac＞0，又当x=1时，y＜0，由此得到a+b+c＜0．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴左边，﹣ ＜0，
∴b＜0，abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
故选C．
点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质问题．
三、计算题（每4分，共16分）
17．用你熟悉的方法解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： 利用因式分解法即可将原方程变为3（x﹣3）（x﹣1）=0，继而可求得此方程的根．
解答： 解：∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）[（x﹣3）+2x]=0，
∴（x﹣3）（3x﹣3）=0，
∴3（x﹣3）（x﹣1）=0，
∴x﹣3=0或x﹣1=0，
解得：x1=3，x2=1．
点评： 此题考查了因式分解法解一元二次方程的知识．此题比较简单，解题的关键是提取公因式（x﹣3），将原方程化为3（x﹣3）（x﹣1）=0的形式求解．
18．用配方法解方程：2x2+1=3x．
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．
解答： 解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，
二次项系数化为1，得 ，
配方 ，
，
由此可得 ，
∴x1=1， ．
点评： 配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．
本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．
19．用两种方法解方程：x2﹣6x﹣7=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
分析： 先把等号的左边进行因式分解，求出x的值；
先找出一元二次方程中的a，b，c的值，再根据求根公式即可得出答案．
解答： 解：（1）x2﹣6x﹣7=0
（x﹣7）（x+1）=0，
x1=7，x2=﹣1；
（2）x2﹣6x﹣7=0
∵a=1，b=﹣6，c=﹣7，
∴x= = ，
∴x1=7，x2=﹣1．
点评： 本题考查了解一元一次方程，用到的知识点是因式分解和公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的步骤是本题的关键．
四、简答题（共38分）
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
考点： 根的判别式．
分析： 首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）=m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0，
∴m=2，
∴关于x的一元二次方程是x2﹣2x+1=0，
∴（x﹣1）2=0，
解得x1=x2=1．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润？利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
解答： 解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
所以y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y值=4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润，利润是4500元．
点评： 此题题考查二次函数的实际应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
22．在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的处B点的坐标为（6，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米， =3.873）
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（0，2）代入即可求解．
（2）由（1）求得的函数解析式，令y=0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．
解答： 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
由于顶点坐标为（6，5），
∴y=a（x﹣6）2+5．
又A（0，2）在抛物线上，
∴2=62•a+5，
解得：a=﹣ ．
∴二次函数的解析式为y=﹣ （x﹣6）2+5，
整理得：y=﹣ x2+x+2．
（2）当y=0时，﹣ x2+x+2=0．
x=6+2 ，x=6﹣2 （不合题意，舍去）．
∴x=6+2 ≈13.75（米）．
答：该同学把铅球抛出13.75米．
点评： 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是函数解析式的求法．
23．某校团委准备举办学生绘画展览，为了美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍，求彩纸的宽度．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 设彩纸的宽度为xcm，镶上彩纸过后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，根据彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍建立方程求出其解即可．
解答： 解：设彩纸的宽度为xcm，镶上彩纸过后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，由题意，得
（30+2x）（20+2x）=2×30×20，
解得：x1=﹣30（舍去），x2=5．
答：彩纸的宽度为5cm．
点评： 本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据彩纸和画的面积和恰好是原画的面积的2倍建立方程是关键．
