19.用算术等式分析问题Algebraic Equivalence
Algebraic Equivalence的意思是“代数等价”，这是一个代数术语，代表代数等价关系。但是根据原文，代数等价应该不是Parrish想要表述的真实含义，他想要表述的，是要学会用算术等式来分析我们的问题。
记得小学刚开始学算术时，感觉最难的题都是应用题，因为其他题目都列好了等式，唯有应用题，需要先翻译，把现实生活中的问题翻译成算术等式。
我们去分析一家企业或一个业务，也要重新拾起小学就掌握的应用题方法，把它的商业模式翻译成一个或多个算术等式。
比如小米的业务很多，至少有三大块——智能手机、IoT与生活消费产品、互联网服务营收，这3块业务的核心公式分别是什么？卖货品的算术公式和卖广告的公式有啥不同？
同样是卖广告的，也有两种不同公式，公众号《笔下求生》作者朱时雨老师说：
互联网常见广告公式有两种：
1.Ad revenue =DAU*人均PV*广告展现率*CPM
2.Ad revenue = DAU*人均feed*Ad load*CPM
第一个收入公式应用在传统展示类广告上，对展示类广告来说，空间是第一维度，也就是按照不同的版面设计出不同的广告位，其实是报纸/杂志广告的一个延续。
第二个公式应用到基于Feed流形式的社交广告，这种基于信息流的native ad，除了空间维度外，还多了一个时间维度（timeline）,page views的概念被弱化，信息流的刷新成为更重要的指标，这样一来，广告库存的空间被大大的打开，只要用户有持续刷新和Feed的阅读，理论上就创造上更多的潜在的广告库存。
把问题算术等式化，需要两步，第一部是去掉无关的属性，如果要计算有几个苹果，就不要关注苹果的颜色、大小和品种，只需要抽象出相关属性——数量。其次是转换，转换后才能建立数学模型，算术等式是最简单的数学模型。
问问自己，你负责的手头工作，有哪几个最重要的算术等式？
20.流失Churn
许多人小学生都做过进水管和出水管同时工作的数学题，网上常常看到被人吐槽。
可是，进水和出水同时进行不就是生活的常态吗？谁能像貔貅一样只吃不拉呢？企业要持续获得收入就需要不断付出成本，而客户和员工也总是在不断流失的，即便他再忠诚。
《爱丽丝梦游仙境》里红皇后对爱丽丝说：
你必须尽力地不停地跑，才能使你保持在原地。
红皇后的话，对于商业有两层含义：
一层是你的竞争对手也在跟着你一起奔跑，如果你不够努力，他们会把你抛在后面；
另一层含义则是，用户离你而去是天经地义的事情，如果你不能够因时而变，不断把新的用户抓在手里，那么就会“不进则退”
不同企业对于客户流失重视程度不同，客户交易次数有限，甚至只有一次的企业，对于流失通常不重视。国内许多风景区的餐馆旅店，为什么时常发生客服投诉，因为旅游回头客较少，“宰一个是一个”。中国消费人群基数极其庞大，客户流失一直不是企业关注的重点。
无论是传统的AIDA模型，还是适合互联网时代的AISAS模型，或者互联网产品常用的AARRR模型，本质上都是用户层层流失的漏斗模型，每个环节上发生的客户流失都是衡量该环节工作质量的关键指标。
流失既然不可避免，但是如果流失的都是低ARPU的客户，而增加的都是高ARPU客户，未尝不是一件好事。
如果转180度，把Churn想象成货品的买入卖出，采买来的货品以合理的利润率快速售卖出仓，变现成资金后再继续采买新品，实现资金的快速周转，那么这种Churn岂不是越快越多越好？
21.大数定律
大数定律是概率学的核心定律之一，可以简单地理解：样本数量越多，其平均值越趋近期望值。
在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，我们会发现，概率越来越接近50%。
许多人都听过赌徒谬误：
赌徒谬误（The Gambler's Fallacy）亦称蒙地卡罗谬误（The Monte Carlo Fallacy），认为由于某事发生了很多次，因此接下来不太可能发生；或者由于某事很久没发生，因此接下来很可能会发生。
举个例子，抛一枚公平的硬币，连续出现10次正面后，下一次出现反面的概率会发生什么变化？
老赌徒会陷入“赌徒谬误”，认为该押反面；而新赌徒通常会迷信“热手效应”，认为该继续押正面。
事实上因为硬币没有任何记忆，因此下一次出现反面的概率仍然是50%，硬币此前的表现与下一次无关。
可是，根据大数定律，正反出现的概率应该各是50%，现在连续出现了10次正面，那么如果下一次反面出现的概率不增加，如何确保反面赶上来，确保一半一半的概率分布呢？
大数定律的核心是“大”，大数定律只有在数据量足够大时，才会显现它的作用，它不会对已经发生的情况进行平衡调整，千万别以为在连续出现10次正面后，大数定律会让反面出现得多一点。真实的情况是：只有随着时间的流逝，它的作用才显现出来。所以说，独立或者短期去看，都是偶然，长期看全是必然。
钱钟书先生说过一句很值得琢磨玩味的话：
天下就没有偶然，那不过是化了妆的、戴了面具的必然。
大数定律给我最大的启示是：找到一个能稳定优势的策略以后，想方设法把优势策略重复发挥到极致。
比如你手里有1000元钱，你愿意选择下面哪种方式来参加投硬币的赌局呢？
方案A：1000元一次性全部押正面。
方案B：每次用1元押正面，一共参与1000次。
计算会发现，两种方案的期望收益都是一样的，可是第一种的标准差却是第二种的1000倍，而标准差常被用来描述风险。收益相同，可是风险却相差了1000倍，你选哪个？
来源：投资中的大数定律
大步跳跃要比小步稳健快跑更容易扯着蛋，三年前网红电商火了后，不少做投资的都奔着网红团队去了，而有人则坚持不断买进阿里股票，因为他坚信大数理论。
同样的道理，在美国西部淘金时代，有人一夜暴富，有人巨亏破产，然而那些卖铲子和牛仔裤却稳赚不赔，前几年比特币火的时候，卖挖矿机和显卡的一样发了财。
提升获胜概率有时难度很大，那么提升尝试微弱概率优势策略的次数就成为一个好选择，不做赌徒，那就开赌场吧，让大数定律为自己服务。
村上春树说：
“若要在坚硬的高墙与击石的鸡蛋之间作选择，我会永远选择站在鸡蛋那一边。
概率信徒应选择跟时间站在一起，因为没有人能够打败时间。
22.钟形曲线/正态分布
正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是很常见的连续概率分布，身高、寿命、血压、考试成绩、测量误差等的概率密度函数，都属于正态分布。正态分布的曲线因为像钟形，因此也被叫做“Bell Curve”。
正态分布的公式中包含了宇宙间中最神奇的两个数学常量π和e，我能想起另外一个同时包含这两个神奇常量的公式就是号称最完美的数学公式——欧拉公式（e^πi+1=0）。
正态分布为什么常见？
因为中心极限定理（central limit theorem）。
根据中心极限定理，如果一个指标受到若干独立因素共同影响，且每个因素不能产生支配性的影响(Lindeberg 条件)，不管每个因素本身是什么分布，它们叠加后影响的这个指标平均值就是正态分布。
比如影响男性或者女性的身高的有基因这样的先天因素，也有营养、锻炼等后天因素。而每一种因素对身高的影响都是独立的，那么这些因素累加以后的身高平均值的概率密度就符合正态分布，所以，正态分布适合各种独立因素累加的情况。学生的成绩也受诸如状态、能力、心情等因素影响，最终成绩是诸多因素影响的加总，所以成绩也是正态分布的。
投资人常说：“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”，其实用正态分布就很容易理解。
如果我们做的是成熟市场的投资，当多个投资相互独立时，投资项目越多，收益越逼近正态分布。
在《随机漫步的傻瓜》有一个类似的案例：
有一位非常擅长投资的牙医，他的投资组合的年化期望收益是15%，而标准差是10%。
为简化起见，假设收益服从正态分布。这意味着一年下来，这位牙医有68%的可能性获得5%到25%的回报（1倍标准差以内），而有95%的可能性获得-5%到35%的回报（2倍标准差以内），有93%的可能性获得正回报。
但如果影响的因素不是彼此独立的，而是相互影响，那么就不是正态分布了。
比如影响一个人收入的因素有很多，包括人脉、教育水平、沟通能力等，而这些因素并不相互独立，会彼此加强，更像乘法的关系。那么最终结果就不是正态分布，而是对数正态分布（log normal distribution）。
绝大多数人（97-99%——参考：Log-normal distribution）的收入服从对数正态分布，也就是说，如果平均收入是10,000元，那么1000元～10,000元之间的人（比平均值低一个数量级，宽度为9000）与10,000元~100,000元之间的人（比平均值高一个数量级，宽度为90,000）人数一样多。因此，收入曲线左侧的范围比较窄，右侧出现长尾。
做市场研究的人，要明白目标用户群体常常是以正态分布的。比如既然男性或女性的身高是按照正态分布的，如果你是一个服装品牌商，规划服装尺码时，是不是可以分析一下目标客户人群的潜在数量。
用户对于新技术产品的接纳程度，也是正态分布的，读过《跨越鸿沟》的朋友，肯定还记得那个技术接纳生命周期曲线（Diffusion of innovations），不就是一个非常漂亮的正态分布曲线吗？
《跨越鸿沟》这本书，一直在强调在早期使用者和早期大众之间有个鸿沟，其实何止是技术产品如此，新制度、新管理方法的出台，不都遵循这样一条曲线吗？作为一名管理者或者制度制定者，一方面可以估算出一条新政策被大家接受的比例最多也就15%，另一方面要认真思考如何让15%的鸿沟尽快被跨越，被更多人所接纳，而不是死在滩头阵地上。
23.幂律分布Power Laws
19世纪的意大利经济学家Pareto研究了个人收入的统计分布，提出了著名的80/20 法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。他认为个人收入概率公式是下图所示的冥律分布。
现代统计学严谨的说法是，大多数人的收入服从对数正态分布，金字塔最顶尖（1-3%）的富人的收入分布，遵循幂律分布。
李开复先生曾经在他的演讲中，介绍过正态分布和幂律分布的差别。
生活中常见的幂律分布有人类聚居地的大小、龙卷风危害大小等，科学家发现幂律分布常发生在自组织系统的临界状态，此时一个很小的干扰事件也可能引起系统发生一系列变化，比如缓慢给沙堆添加沙粒直至崩溃，沙崩的大小与其出现的频率呈幂律关系。
我们在正态分布时提到过，成熟市场的投资越多，越逼近正态分布，可是如果是天使之类的早期投资呢？
Peter Thiel在他的《从零到一》中给出了他的答案：
平常做投资的时候，我们脑子里想的是这条虚线，...我们老是心里想我们有一大堆投资，有些赚很多，有些赚一点，有些赔一点，有些赔的比较多，是一个正态分布。但事实上不是这样的，真实的任何一个做早期或者是任何二级市场之前的投资，最后画出来的图都是幂定律，是这个橘颜色。
生活中许多事物，如果我们投入很多的资源和精力，即便是最好的情况，我们只能获得非常有限的价值。所以我们应该不要花费过多精力与时间在这些无法实现高价值的事物上，而应该更专注于那些可能产生巨大价值的事物和目标上。
据说在一次家庭聚会上，
盖茨的父亲问巴菲特和盖茨一个问题，人一生中最重要的是什么? 巴菲特和盖茨同时在纸上给出了一样的答案：“专注！”
专注的人把注意力全力集中能实现自己目标的事物上，他不被其它无关的外物所吸引，不会无端被焦虑困扰。当你真正专注时，你才会对所做的事情上心，才能做出跟别人真正的不同。
但是专注有个前提：把精力聚焦到投入产出比最高的地方去。这就是幂律告诉我们的真谛：「把事情做对，远不如做对的事」
有人会举出长尾效应来反驳在互联网时代，幂律分布不再正确了，长尾货品产生的价值，对于商家是不容忽视的。
可是长尾效应隐含了一个前提：增加长尾货品或提供长尾服务的边际成本几乎为零。
所以这个世界好的生意有两种，一种是满足80%用户的80%需求，另一种是满足20%用户的80%需求。“小而美“的生意不是满足80%用户的20%需求，而是满足20%用户的80%需求。
最后，作为一名管理者，我想强调一下人的业务能力其实是符合幂律分布的。
美团创始人王兴说：
找到好的人是最关键的，不然的话各方面会很累，效率很低。我到Facebook的时候，一个朋友对我说，一个好的工程师和一个不好的工程师差10万倍...
乔布斯也说过类似的话，
在我所关心的领域——从前的硬件设计领域——我注意到，平均水平的人可以完成的工作和最优秀的人可以完成的工作相较，动态范围是50或100比 1。
所以好的领导者，都致力于找到聪明人让他们来做事。
24.随机过程Stochastic Processes
我学生生涯中学过的所有课程中，唯二让我丢盔卸甲、信心扫地、俯首称臣的是《随机过程》和《数论》。谁能想到离开校园十多年后，我竟然要谈谈让我不堪回首的随机过程。
19世纪概率论的一个重大改变，是从对随机变量的研究提升到对随机变量的时间序列st（s1、s2、s3...、...）的研究，随机过程是某个或某几个随机变量在时间域或空间域的集合。举一个简单的例子：北京过去365天每天的空气PM2.5值，就是一个典型的随机过程。
对每一天而言，北京的空气PM2.5值是随机的，而当天的PM2.5值理论上跟之前每天的PM2.5值都有关系。有句非常流行的鸡汤话，特别适合用来解释这个道理——今天的你，是过去的你所有选择的结果。
人生是一种高度历史路径依赖的过程，古人说，“冰冻三尺，非一日之寒。水滴石穿，非一日之功”，就是这个道理。但是，明天的你是什么样子，最大程度上取决于今天。对于PM2.5值来讲，更是如此。
于是俄罗斯数学家Markov提出了一种简化假设，那就是st的概率分布，只跟前一个s(t-1)有关系，如果用条件概率表示就是P[st|s1,s2...s(t-1)]=P[st|s(t-1)]。
用北京PM2.5值举例，今天北京的PM2.5值，取决于昨天的PM2.5值。Markov这个办法，把无限复杂的随机过程，简化成每一步只跟上一步相关的Markov过程。
经典的Markov随机过程有Poisson过程和Wiener过程。Poisson过程的每一步都是完全独立的，不受前一步的影响，比如投硬币，下一次硬币是正是负，跟这次是正是负没关系。
而Wiener过程是在研究无规则的布朗运动时发现的，谈布朗运动先要谈谈酒鬼漫步。
想象在格点化的街道中有一个醉汉，每次到达交叉路口时会随机选择前后左右任何一个，他所经过的路径会具有什么样的特点呢？这就是著名的“酒鬼漫步”，也被称为随机游走（random walk）。因为酒鬼只能在二维的城市地面上游荡，所以这是一种“二维无规行走”。
数学家波利亚研究发现，酒鬼随机游走在长度无限的一维街道或者二维城市平面，只要时间足够长，他最终总能回到出发点。然而如果是三维的话，回家的概率就只有34%。角谷静夫总结为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。
酒鬼是按照空间格点一格一格的走，假设格点间距离为d，而Wiener过程则用来描述d趋于0时的布朗运动，它是一个标准的Markov过程，该过程中随机变量的增量变化服从于正态分布。维纳过程具有分形特征，如下图所示，截取其中一段出来，放大后与整体曲线显得相似。
Markov等随机过程在金融和信息处理领域，有广泛的应用。可是，说了这么多，这些复杂抽象的随机过程到底跟我们的生活工作有什么关系呢？
我们生活在一个大数据时代，被海量的数据包围，这些海量数据中夹杂了太多的噪音，没有被分析和过滤过的数据只是数据，不是有用的信息。随机过程告诉我们学会从数据中过滤掉噪音、提取出有效的信息，用概率思维去应对未来。
随机过程的个体变量无法精确预测，然而我们可以预测它的可能变化及其对应的概率，我们永远无法精确预测明天的股票价格，然而我们可以根据随机过程理论分析出可能的变化和概率，这使得我们可以更加坦然和平静地面对未知的未来。
介绍完这13个数学相关的思维模型后，我想总结一下数学带给我最有力的3种武器。
1、逻辑
逻辑的核心是因果，在纷乱的世界面前，逻辑告诫我要严谨地思考，搞清楚相互之间的关系。
2、函数
函数用来表明因变量和自变量之间的关系，函数告诫我要学会搞清不同数据之间的关系，咱们做业务就要把业务盈利方式分解成等式，搞清楚各个产量的关系。
3、概率
概率发源于排列组合，概率告诫我想学会用概率思考，首先要合理分类，其次学会接受随机不定，用概率理解和分析世界。
伽利略说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字”。查理·芒格说“我的剑传给能挥舞它的人”，他的智慧之剑中，数学作为全世界所有文明共同的“语言”，我相信比重是最大的。
要有耐心，你才能发现数学的美丽。
