十分精彩！不容错过的数学精彩演绎！

在这篇文章中，我们将一同证明如下的命题：

命题1：所有面积为定值a（a>0）的四边形中，正方形的周长最小。

接下来，我们将通过对一系列相关引理、命题、推论的证明，最终演绎出上述的命题。

首先，我们不妨把这个命题进行一般化推广：

命题2：多有面积为定值a（a>0）的n边形中，正n边形的周长最小。

如果命题2是真命题，那么当n=4时，命题1的正确性也就得以证明，但是命题2仿佛比命题1更难证。于是，我们对命题2进行特殊化猜想，考虑n=3时，命题2是否正确，于是就产生了命题3：

命题3：所有面积为定值a（a>0）的三角形中，正三角形的周长最小。

（以上过程用到了两种合情推理的方法：一般化和特殊化. 我们将命题1一般化推广到命题2，又将命题2特殊化到命题3，这才是我们解决问题的关键方法！）

在证明命题3之前，我们先解决几个简单的问题：

（话锋一转，大家可能觉得有点突兀，但是通过一些引例来铺垫的确是数学推理中常见的形式）

引例

命题4：直线上动点P到直线外两定点A, B的距离之和有最小值，当且仅当

A, B, P三点共线（A, B在直线两侧）

A", B, P三点共线（A, B在直线一侧，其中点A"是点A关于直线的对称点）

证明（命题4）：

如图所示，在左图中，PA+PB≥AB，当且仅当P点与C点重合；

在右图中，PA+PB=PA"+PB≥A"B，当且仅当P点与D点重合.

证毕（命题4）

命题5：在所有底为a，高为b的三角形中，等腰三角形的周长最短.

证明（命题5）：

因为AB是定长a，所有满足条件的三角形的第三个顶点P一定在与AB平行，且距离为b的直线上运动.

PA+PB=PA"+PB≥AB，当且仅当P与C重合，此时△ABC为等腰三角形.

中，

证毕（命题5）

准备工作都已经做完了，接下来，我们将全力证明命题3.

命题3：所有面积为定值a（a>0）的三角形中，正三角形的周长最小.

命题3的等价形式：

任意△ABC，如果它不是正三角形，那么一定存在与之面积相等，且周长更小的三角形.

证明（命题3）：

（1）如图所示，对于任意的△ABC，由于其不是正三角形，故一定存在不相等的两边，我们不妨假定CA≠CB.

（2）我们一定能在过点C且与AB平行的直线上找到点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，△ABD与△ABC面积相等，并且由命题4可知：△ABD的周长小于△ABC的周长.

综合（1）（2），只要面积为定值a的△ABC不是正三角形，那么就一定存在一个面积也为定值a的三角形周长更短，一直进行这样的操作，直至作出正三角形.

也就是说，面积为定值a的三角形中，正三角形的周长更短，证毕.

证毕（命题3）

(我想这才是数学演绎证明应有的样子，大家一定仔细体会命题3的等价形式. 本质上就是我们把一个“最小值”命题翻译成了“任意-存在”命题，这太重要了！)

其实，万里长征还未结束，宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王！

（有的人、有的诗，必须加粗加大Highlight！）

因为，我们的初心是要证明命题1，别忘了！

命题1：所有面积为定值a（a>0）的四边形中，正方形的周长最小。

参考上述过程，我们直接写出命题1的等价形式：

任意面积为定值a（a>0）的四边形ABCD，只要它不是正方形，那么一定存在一个面积也为a，但是周长更短的四边形.

证明（命题1）：

如图所示，对于任意四边形ABCD，如果它不是正方形，那么将其对角线AC看成底，根据命题4，我们就得到了与之面积相同，但是周长更短的四边形AECF.

对于四边形AECF，将其对角线EF看成底，根据命题4，我们就得到了与之面积相同，但是周长更短的四边形MENF. 通过几何关系可知四边形MENF为菱形.

如下图所示，对于菱形MENF，我们作出矩形PQNE与之面积相等，但是周长更短.

也就是说，任意普通四边形，都能找到面积与之相等且周长更短的菱形（如果它原本就是菱形那就更好了），对于任一菱形，都能找到面积与之相等且周长更短的矩形，对于任意矩形，都能找到与之面积相等且周长更短的菱形，这样一直作下去......最终得到的面积为a，周长最短的图形一定兼备矩形和菱形的性质，因此一定是正方形.

证毕（命题1）

至此，我们终于证明了文章伊始提出的命题1，大功告成！

总结：

命题1推广到命题2，是一般化猜想；命题2具体到命题3，是特殊化猜想.

命题3的等价形式是“任意-存在”性命题，证明“存在”性，无非就是找到满足条件的图形.

整篇文章的推理逻辑性都很强，还算精彩!

其实命题1的证明可以稍作更改，当我们证明出最小周长的四边形一定是菱形的时候，可以将命题改写为“面积相等的所有菱形中，正方形的周长最短”. 这是一个可以通过“均值不等式”证明的结论.

其实，我们可以直接从命题1入手，完全不考虑命题3，但这就少了一个循序渐进的过程，也是一个类比推理的过程.

其实，命题2也是真命题，但是我们就不证明了，头疼！

好好的一篇数学演绎证明，这配色真是糟糕，广告弹窗的气质！等时间宽裕了，一定用latex写，这样就智慧和颜值并存了！

下一篇文章可能是关于导数问题里“极值点偏移”的三种主流方法也可能是给出部分高考题自己的解法.