问题补充:
解答题已知三次函数f(x)=x3+ax2-6x+b,a、b为实数,f(0)=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-6.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立,求实数m的取值范围.
答案:
解:(1)f(x)=3x2+2ax-6??…(1分)
由导数的几何意义,f(1)=-6
∴a=-?…(2分)
∵f(0)=1∴b=1??…(3分)
∴f(x)=x3-x2-6x+1??…(4分)
(2)f(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2)
令f(x)=0得x1=-1,x2=2???…(5分)
当x∈(-2,-1)时,f(x)>0,f(x)递增;
当x∈(-1,2)时,f(x)<0,f(x)递减.…(7分)
∴在区间(-2,2)内,函数f(x)的最大值为f(-1)=??…(8分)
∵f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立
∴|2m-1|≥??…(10分)
∴2m-1≥?2m-1≤-
∴m≥或m≤-???…(12分)解析分析:(1)先求函数的导数,进而根据f(1)=-6求出a的值,然后根据f(0)=1,求出b的值即可求出函数的解析式;(2)先利用导数判断函数的单调性,进而求出函数在区间(-2,2)内的最大值,再解不等式即可.点评:本题的考查了导数的几何意义、导数的求法以及函数恒成立问题,对于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题,属于中档题.