问题补充:
解答题在平面直角坐标系xOy中,动点P到直线l:x=2的距离是到点F(1,0)的距离的倍.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线FP与(Ⅰ)中曲线交于点Q,与l交于点A,分别过点P和Q作l的垂线,垂足为M,N,问:是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)设点P的坐标为(x,y).
由题意知?=|2-x|…(3分)
化简得x2+2y2=2,
∴动点P的轨迹方程为x2+2y2=2,即+y2=1--------(5分)
(Ⅱ)设直线FP的方程为x=ty+1,点P(x1,y1),Q(x2,y2)
因为△AQN∽△APM,所以PM=3QN,
由已知得PF=3QF,所以有y1=-3y2…(1)--------(7分)
由,消去x得(t2+2)y2+2ty-1=0,
∴△>0且y1+y2=-…(2),y1y2=-…(3)--------(10分)
联解(1)(2)(3),得t=-1,y1=1,y2=-或t=1,y1=-1,y2=
∴存在点P(0,±1)使得△APM的面积是△AQN面积的9倍.--------(13分)解析分析:(I)设点P的坐标为(x,y),根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式,结合题意建立关于x、y的等式,化简整理可得x2+2y2=2,所以动点P的轨迹方程为椭圆+y2=1;(II)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).将直线FP方程x=ty+1与椭圆消去x,得到关于y的一元二次方程,结合根与系数的关系得到y1+y2和y1y2关于t的表达式.若△APM的面积是△AQN面积的9倍,由平几知识可得△AQN∽△APM,则PM=3QN,结合椭圆的性质得PF=3QF.因此得到y1=-3y2结合前面的等式,解出t=-1,从而得到存在点P(0,±1)使得△APM的面积是△AQN面积的9倍.点评:本题给出动点P的轨迹是椭圆,探索椭圆的焦点弦所在直线与准线相交构成三角形的面积问题.着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系和三角形相似等知识,属于中档题.