问题补充:
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为(a>b>0),
∵e==,且经过点M,
∴,
解得c2=1,a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为.…(4分)
(Ⅱ)若存在直线l满足条件,由题意可设直线l的方程为y=k1(x-2)+1,件,
由题意可设直线l的方程为y=k1(x-2)+1,
由,
得(3+4k12)x2-8k1(2k1-1)x+16k12-16k1-8=0.
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以△=[-8k1(2k1-1)]2-4?(3+4k12)?(16k12-16k1-8)>0.
整理得32(6k1+3)>0.
解得k1>-,
又,
因为,即,
所以=.
即.
所以,解得.
因为A,B为不同的两点,所以.
于是存在直线l1满足条件,其方程为.…(12分)
解析分析:(1)先设椭圆的标准方程,将点M代入得到一个方程,根据离心率得到一个关系式,再由a2=b2+c2可得到a,b,c的值,进而得到椭圆的方程.(2)假设存在直线满足条件,设直线方程为y=k1(x-2)+1,然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程,且方程一定有两根,故应△大于0得到k的范围,进而可得到两根之和、两根之积的表达式,再由,可确定k1的值,从而得解.
点评:本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题.直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型,要着重复习.
已知中心在原点 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 且经过点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)是否存过点P(2 1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A B 满足?若存在