问题补充:
已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上单调递增,那么,下列关于此函数f(x)性质的表述:
①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;?
②函数y=f(x)是周期函数;
③当x∈[-3,-2]时,f′(x)≥0;?④函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点.??
其中正确表述的番号是________.
答案:
①②④
解析分析:先利用赋值法证明f(1)=0,从而利用函数周期性的定义证明函数的周期性,再利用已知函数性质证明函数的对称性,最后利用函数的周期性和单调性判断函数的单调性和极值即可
解答:令x=-1,则f(-1+2)=f(-1)+f(1),又f(-1)=f(1)∴f(1)=2f(1),∴f(1)=0∴f(x+2)=f(x)∴函数y=f(x)是周期函数,最小正周期为2,②正确;再将上式中的x替换为x-1,得f(x+1)=f(x-1)=f(1-x)∴函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,①正确;∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减,又函数的周期为2,∴函数f(x)在区间[-3,-2]上单调递减,此时f′(x)≤0,③错误;∵函数f(x)在一个周期[-1,1]上有且只有一个零点x=0,且函数周期为2,∴x=0+2k,k∈Z均为函数的零点,④正确故
已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0 1]上单调递增 那么 下列关于此函数f(x)性质的表述:①函数y=f(x)的图象关于