问题补充:
在△PAB中,已知、,动点P满足|PA|=|PB|+4.
(I)求动点P的轨迹方程;
(II)设M(-2,0),N(2,0),过点N作直线l垂直于AB,且l与直线MP交于点Q,,试在x轴上确定一点T,使得PN⊥QT;
(III)在(II)的条件下,设点Q关于x轴的对称点为R,求的值.
答案:
解:(I)∵|PA|-|PB|=4<|AB|,∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点.
设双曲线方程为.
由已知,得解得
∴.
∴动点P的轨迹方程为.
(5)由题意,直线MP(6)的斜率存在且不为0,设直线l的方程x=2.
设MP的方程为y=k(x+2).
∵点Q是l与直线MP的交点,∴Q(2,4k).设P(x0,y0)
由整理得(1-2k2)x2-8k2x-(8k2+4)=0.
则此方程必有两个不等实根x1=-2,x2=x0>2∴1-2k2≠0.,且.
∴.∴.
设T(t,0),要使得PN⊥QT,只需
由N(2,0),,
∴
∵k≠0,∴t=4.此时
∴所求T的坐标为(4,0).
(III)由(II)知R(2,-4k),∴=,.
∴.
∴.
说明其他正确解法按相应步骤给分.解析(I)由题意可得,动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点.下面结合待定系数法求出双曲线方程即可;
(II)由题意,直线MP(6)的斜率存在且不为0,设直线l的方程x=2.设MP的方程为y=k(x+2),将直线的方程代入双曲线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用垂直条件即可求得所求T的坐标;
(III)由(II)知R(2,-4k),利用k表示出向量,最后结合向量的数量积求出结果即得.
点评:直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.
在△PAB中 已知 动点P满足|PA|=|PB|+4.(I)求动点P的轨迹方程;(II)设M(-2 0) N(2 0) 过点N作直线l垂直于AB 且l与直线MP交于