问题补充:
已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB交⊙O于G、H两点,AC交⊙O于F、E两点,GH=FE,BH=CE.
(1)如图1,求证:AO垂直平分BC;
(2)如图2,BF与CG交于点M,连接AM,并延长分别交GF、BC于点N、D,若BH=1,GH=3,GA=2,求的值;
(3)在图3中,若⊙O与底边BC相切于中点D,点G、F分别为AB、AC的中点,请你找出与EF相等的线段,并加以证明.
答案:
(1)证明:作OP⊥EF于P,OQ⊥GH于Q,
∵EF=GH
∴OP=OQ
∴OA平分∠BAC
∵AB=AC
∴AO垂直平分BC;
(2)解:∵AB=AC,BH=CE,HG=EF
∴AG=AF
∴
∴GF∥BC
∴;
(3)解:EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC.(此处与最后一步为同一个得分点)
证明:∵G、F为AB、AC的中点,D是BC的中点,
∴GF=BC=BD=DC
连接DF,
∴DF∥AB
∴∠1=∠A=36°,∠CDF=∠B=72°
∵BC切⊙O于D
∴∠1=∠2=36°
∴∠3=36°,∠DEC=∠C=72°
∴DC=DE=EF
同理:HG=DH=BD,而HG=EF
∴EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC.
解析分析:(1)作OP⊥EF于P,OQ⊥GH于Q;易得OA平分∠BAC;又根据等腰三角形的性质,可得AO垂直平分BC;
(2)根据题意,易得,进而可得GF∥BC;根据平行线的性质,可得的值等于;
(3)根据题意,易得DF∥AB,根据平行线的性质可得∠1=∠A=36°,∠CDF=∠B=72°,再由切线长定理,可得∠3=36°,∠DEC=∠C=72°,故可得EF=ED=DH=HG=GF=BD=DC.
点评:本题综合考查函数、方程与圆的切线,三角形相似的判定与性质等知识.此题是一个大综合题,难度较大,有利于培养同学的综合分析,解决问题的能力.
已知:在△ABC中 AB=AC ∠A=36° AB交⊙O于G H两点 AC交⊙O于F E两点 GH=FE BH=CE.(1)如图1 求证:AO垂直平分BC;(2)如图