问题补充:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.且F(x)=
(I)求F(x)的表达式;
(II)若当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.
答案:
解:(I)∵二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),且f(-1)=0,
∴a-b+1=0,得b=a+1,
则f(x)=ax2+(a+1)x+1,又∵对任意实数x均有f(x)≥0成立,a>0,
∴△=(a+1)2-4a≤0,即(a-1)2≤0,∴a=1,
∴f(x)=x2+2x+1,
∴F(x)=
(II)由上可知g(x)=x2+(2-k)x+1,∴函所g(x)的对称轴为x=
∴当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数
∴有≥2或
∴k≥6或k≤-2
解析分析:(I)二次函数过点(-1,0)代入求出a与b的关系式,减少未知量,再根据任意实数x均有f(x)≥0成立,a>0,开口向上,可得△≤0,从而求解出a的范围,得到a值,再写出F(x);
(II)由(I)可知f(x)的解析式,代入g(x),然后对g(x)进行求导,利用常数分离法求出k的取值范围;
点评:本题考查了函数的单调性的应用,两个函数的简单运算后判定单调性,解题过程中用到了常数分离法求范围的方法,这是高考常考的考点,我们要熟练掌握;
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0) 若f(-1)=0 且对任意实数x均有f(x)≥0成立.且F(x)=(I)求F(x)的表达式;(II)若当x∈[-2