问题补充:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是-1,3?(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点M在直线y=3x-7上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点B、M重合),设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)由题意可知:抛物线的对称轴为x=1.
当x=1时,y=3x-7=-4,
因此抛物线的顶点M的坐标为(1,-4).
过A(-1,0),B(3,0)
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,
则有:a(3-1)2-4=0,a=1.
则抛物线的解析式为:y=x2-2x-3.
(2)根据(1)的抛物线可知:A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3);
易知直线BM的解析式为y=2x-6;
∵当x=t时,y=2t-6;
∴PQ=6-2t;
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×(3+6-2t)×t+×3,即S四边形PQAC=-t2+t+(1<t<3).
(3)假设存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形.
∵点N在BM上,设N点坐标为(m,2m-6),则CM2=12+12=2,CN2=m2+[-3-(2m-6)]2,或CN2=m2+[(2m-6)+3]2.
MN2=(m-1)2+[4-(6-2m)]2.△NMC为等腰三角形,有以下三种可能:
①若CN=CM,则m2+[(6-2m)-3]2=2,
解得m1=,m2=1(舍去).
则N.
②若MC=MN,则(m-1)2+[4-(6-2m)]2=12+12.
解得m=1±.
∵1<m<3,
∴m=1-舍去.
∴N(1+).
③若NC=NM,则m2+[3-(6-2m)]2=(m-1)2+[4-(6-2m)]2.
解得m=2.
则N(2,-2).
故存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形.且点N的坐标分别为:,N3(2,-2).
解析分析:(1)根据抛物线与x的两个交点的横坐标可以推知该抛物线的对称轴方程x=1,结合该抛物线的顶点在直线y=3x-7上可以求得该抛物线的顶点坐标是(1,-4).故可设该抛物线的解析式为顶点式方程y=a(x-1)2-4;最后利用待定系数法可求该抛物线的解析式;(2)由(1)中的抛物线解析式可以求得点A、B、C的坐标;根据B、M两点的坐标可以求得直线BM的解析式y=2x-6;由该解析式可以求得PQ=6-2t;最后图形可知S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC;(3)利用反证法
解答:假设存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形.利用两点间的距离公式分别求得CM、CN、MN的值;然后分类讨论:①MN为底;②CN为底;③CM为底时所求得的点N的坐标.
点评:本题考查了二次函数综合题.注意:△NMC为等腰三角形时,需要分三种情况进行讨论,以防漏解.
如图 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A B两点的横坐标分别是-1 3?(点A在点B左侧) 与y轴交于点C 抛物线的顶点M在直线y=3x-7上.(1)求抛物线的解