已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m＞0 求函数f（x）在[m 2m]上的最

问题补充：

已知函数．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设m＞0，求函数f（x）在[m，2m]上的最大值；

（3）证明：对?n∈N*，不等式恒成立．

答案：

解：（1）函数的定义域为（0，+∞）

求导函数，可得f′（x）=

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；

（2）①当0＜2m≤e，即0＜m≤时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递增，

∴f（x）max=f（2m）=；

②当m≥e时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递减，

∴f（x）max=f（m）=；

③当m＜e＜2m，即时，由（1）知，f（x）max=f（e）=

（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（e）=

∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=，即

当且仅当x=e时，等号成立

∴?x∈（0，+∞），恒有

∵，

∴

∴

解析分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负明确的函数的单调区间；（2）分类讨论，确定函数f（x）在[m，2m]上的单调性，从而可求函数的最大值；（3）先确定函数在（0，+∞）上，恒有f（x）=，即，从而可得x∈（0，+∞），恒有，进而可得结论．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是确定函数的单调性，正确分类讨论．

已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m＞0 求函数f（x）在[m 2m]上的最大值；（3）证明：对?n∈N* 不等式恒成立．