问题补充:
在Rt△ABC中,直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,点E是BC边的中点,连接DE,
①DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,请说明情况.
②若AC、AB的长是方程x2-10x+24=0的根,求直角边BC的长.
答案:
解:(1)DE与半圆O相切.
证明:连接OD、OE.
∵O、E分别是BA、BC的中点,
∴OE∥AC,
∴∠BOE=∠BAC,∠EOD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠BAC.
∴∠BOE=∠EOD.
∵OD=OB,OE=OE,
∴△OBE≌△ODE.
∴∠ODE=∠OBE=90°.
∴DE与半圆O相切.
(2)∵AC,AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,
∴解方程x2-10x+24=0得:x1=4,x2=6.
∵AB<AC,
∴AB=4,AC=6,
∴BC====2.
解析分析:①相切.连接OD,证明OD⊥DE即可.连接OE,则OE∥AC,可证∠BOE=∠DOE,根据SAS判定△BOE≌△DOE,得∠ODE=∠B=90°.得证.
②解方程可得AC、AB的长,运用勾股定理求BC.
点评:此题考查了相似三角形的判定和性质的应用、切线的判定、解一元二次方程、勾股定理等知识点,综合性较强.
在Rt△ABC中 直角边AB为直径的半圆O 与斜边AC交于D 点E是BC边的中点 连接DE ①DE与半圆O相切吗?若相切 请给出证明;若不相切 请说明情况.②若AC