问题补充:
已知椭圆和双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,它们有相同的焦点F1(-5,0)、F2(5,0),且它们的离心率e都可以使方程x2+(1-2e)x+2e-1=0有相等的实根,求椭圆和双曲线的标准方程.
答案:
解:由题意可设椭圆的方程为
双曲线的方程为
且c1=c2=5
设椭圆的离心率为?e1,0<e1<1,
双曲线的离心率为e2,e2>1
又e1,e2使得方程x2+(1-2e)x+2e-1=0有相等的实根,
所以△=(1-2e)2-4×(2e-1)=0
解得,或,
即,,
所以可得
所以所求椭圆方程为,
双曲线的方程为
解析分析:设出椭圆方程及双曲线的方程,利用二次方程有两个相等的实根,令其判别式为0,求出两个根,据焦点坐标求出椭圆和双曲线方程.
点评:解决椭圆与双曲线问题要注意椭圆的离心率的范围为(0,1);双曲线离心率的范围为(1,+∝).
已知椭圆和双曲线的中心在原点 对称轴为坐标轴 它们有相同的焦点F1(-5 0) F2(5 0) 且它们的离心率e都可以使方程x2+(1-2e)x+2e-1=0有相等的