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L1和L2L2正则化、岭回归L1正则化、Lasso回归弹性网络提前停止正则化是处理模拟过拟合最常用的方式之一。本部分我们介绍常见的正则化方法。
L1和L2
Lasso回归的一个重要特点是它倾向于完全消除掉最不重要特征的权重（也就是将它们设置为零）因为所有高阶多项式的特征权重都等于零。换句话说，Lasso回归会自动执行特征选择并输出一个稀疏模型（即只有很少的特征有非零权重）。
你可以通过查下图来了解为什么会这样：轴代表两个模型参数，背景轮廓代表不同的损失函数。在左上图中，轮廓线代表1损失（|θ1|+|θ2|），当你靠近任何轴时，该损失呈线性下降。例如，如果将模型参数初始化为θ1=2和θ2=0.5，运行梯度下降会使两个参数均等地递减（如黄色虚线所示）。因此θ2将首先达到0（因为开始时接近0）。之后，梯度下降将沿山谷滚动直到其达到θ1=0（有一点反弹，因为1的梯度永远不会接近0：对于每个参数，它们都是1或1）。在右上方的图中，轮廓线代表Lasso的成本函数（即MSE成本函数加L1损失）。白色的小圆圈显示了梯度下降优化某些模型参数的路径，这些参数在θ1=0.25和θ2=1附近初始化：再次注意该路径如何快速到达θ2=0，然后向下滚动并最终在全局最优值附近反弹（由红色正方形表示）。如果增加α，则全局最优值将沿黄色虚线向左移动；如果减少α，则全局最优值将向右移动（在此示例中，非正则化的MSE的最优参数为θ1=2和θ2=0.5）。
底部的两个图显示了相同的内容，但惩罚为L2。在左下图中，你可以看到L2损失随距原点的距离而减小，因此梯度下降沿该点直走。在右下图中，轮廓线代表岭回归的成本函数（即MSE成本函数加L2损失）。Lasso有两个主要区别。首先，随着参数接近全局最优值，梯度会变小，因此，梯度下降自然会减慢，这有助于收敛（因为周围没有反弹）。其次，当你增加α时，最佳参数（用红色正方形表示）越来越接近原点，但是它们从未被完全被消除。
L2正则化、岭回归
本部分介绍了sklearn中岭回归的实现方式。
sklearn提供了一个Ridge的线性领回归的实现，但更常用的方式是在其它模型中加入penalty='l2’的参数。我们先看一下Rideg类的使用：
X = np.random.rand(1000, 1)y = 2 * X + 1from sklearn.linear_model import Ridgeridge_reg = Ridge(alpha=1, solver='cholesky')ridge_reg.fit(X, y)print(ridge_reg.coef_, ridge_reg.intercept_)
[[1.97643979]] [1.01167015]
我们再看一下使用其它模型+penalty参数的方式：
X = np.random.rand(1000, 1)y = 2 * X + 1from sklearn.linear_model import SGDRegressorsgd_reg = SGDRegressor(penalty='l2')sgd_reg.fit(X, y.ravel())print(ridge_reg.coef_, ridge_reg.intercept_)
[[1.97643979]] [1.01167015]
L1正则化、Lasso回归
与L2类似，L1也有Lasso和penalty2种实现方式：
X = np.random.rand(100, 1) * 10y = 12 * X + 256from sklearn.linear_model import Lassolasso_reg = Lasso()lasso_reg.fit(X, y)print(lasso_reg.coef_, lasso_reg.intercept_)
[11.88574327] [256.58076116]
from sklearn.linear_model import SGDRegressorsgd_reg = SGDRegressor(penalty='l1')sgd_reg.fit(X, y.ravel())print(sgd_reg.coef_, sgd_reg.intercept_)
[12.05735998] [255.60450449]
弹性网络
弹性网络ElasticNet同时使用L1和L2。
X = np.random.rand(100, 1) * 10y = 12 * X + 256from sklearn.linear_model import ElasticNeten_reg = ElasticNet(alpha=0.1, l1_ratio=0.5)en_reg.fit(X,y)print(en_reg.coef_, en_reg.intercept_)
[11.91128824] [256.42500209]
from sklearn.linear_model import SGDRegressorsgd_reg = SGDRegressor(penalty='elasticnet')sgd_reg.fit(X, y.ravel())print(sgd_reg.coef_, sgd_reg.intercept_)
[12.06448304] [255.59790417]
提前停止
为了避免过拟合，也为了记录训练过程中的最优模型，我们经常需要用到提前停止。
from copy import deepcopyfrom sklearn.pipeline import Pipelinefrom sklearn.preprocessing import StandardScalerpoly_scaler = Pipeline([("poly_features", PolynomialFeatures(degree=90, include_bias=False)),("std_scaler", StandardScaler())])X_train_poly_scaled = poly_scaler.fit_transform(X_train)X_val_poly_scaled = poly_scaler.transform(X_val)sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=1, tol=-np.infty, warm_start=True,penalty=None, learning_rate="constant", eta0=0.0005, random_state=42)minimum_val_error = float("inf")best_epoch = Nonebest_model = Nonefor epoch in range(1000):sgd_reg.fit(X_train_poly_scaled, y_train) # continues where it left offy_val_predict = sgd_reg.predict(X_val_poly_scaled)val_error = mean_squared_error(y_val, y_val_predict)if val_error < minimum_val_error:minimum_val_error = val_errorbest_epoch = epochbest_model = deepcopy(sgd_reg)
