我是九年级的.XIXI!~~~一、了解二次函数的内涵及实质 .二次函数 y=ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数)中含有2个变量 x 、 y ，我们只须先确定其一变量，就可运用剖析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解便是一个点的座标，事实上二次函数的图像就是由无数个这样的点组成的图型 .二、了解几个特别型二次函数的图像及性质 .1 、根据描点，观查 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图像的形态及位置，了解各自图像的本质特征，相反依据抛物线的特点能快速确定这是哪一种剖析式 .2 、了解图像的平移口诀“加上减下，加左减右” .
y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k “加上减下”是对于 k 来讲的，“加左减右”是对于 h 来讲的 .
总而言之，假如2个二次函数的二次项系数一样，则它们的抛物线形态一样，因为顶点座标不一样，因此位置不一样，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，假如抛物线是一般方式，应先化成顶点式再平移 .3 、根据描点绘图、图像平移，了解并明确剖析式的特点和图像的特点是完全相对应的，我们在答题时要达到心中有图，看见函数就能在头脑里反映出它的图像的本质特征；4 、在了解函数图像的基础上，通过观查、剖析抛物线的特点，来了解二次函数的增减性、极值等性质；运用图像来鉴别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△及其由系数构成的代数式的符号等问题 .三、要充分运用抛物线“顶点”的用处 .1 、要能精确灵敏地求出“顶点” . 形如 y=a ( x + h ) 2 + K →顶点(h,k )，关于其他方式的二次函数，我们可化成顶点式而求出顶点 .2 、了解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为(h ， k )，则对称轴为 x=-h ， y 最大(小) =k ；相反，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为( m ， n )；了解它们当中的关系，在剖析、解决困难时，可达到触类旁通的实际效果 .3 、运用顶点画草图 . 在大多时候，我们只需要画出草图能协助我们剖析、解决困难就可以了，此时可依据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大概图像 .四、了解把握抛物线和坐标轴交点的求法 .一般地，点的座标由横坐标与纵坐标构成，我们在求抛物线和坐标轴的交点时，可优先确定其一座标，再运用剖析式求出另一个座标 . 假如方程无实数根，则说明抛物线和 x 轴无交点 .
从以上求交点的过程可以看出，求交点的本质便是解方程，并且和方程的根的判别式联系起來，运用根的判别式判断抛物线和 x 轴的交点个数 .五、灵敏应用待定系数法求二次函数的剖析式 .
用待定系数法求二次函数的剖析式是我们求剖析式时最惯例有用的方式，求剖析式时通常可选择多种多样方式，如能综合运用二次函数的图像和性质，灵敏应用数形结合的思维，不但可以简化计算，并且对进一步了解二次函数的本质及数和形的关系大有裨益 .二次函数y=ax2
学习需求:
1．了解二次函数的意义．
2．会用描点法画出函数y＝ax2的图像，了解抛物线的相关定义．
重难点剖析1.本节重点是二次函数的定义与二次函数y＝ax2的图像和性质；难题是基于图像归纳二次函数y＝ax2的性质.2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数都是二次函数.剖析式中仅能含有两
个变量x、y，且x的二次项的系数不能为0，自变量x的取值范畴一般是全体人员实数，但是在具体问题中应使实际量有意义。例如圆面积S和圆半径R的关系式S＝πR2中，半径R仅能取非负数。3.抛物线y＝ax2的形态是由a决定的。
a的符号决定抛物线的开口方向，在a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并进取無限拓宽；在a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并往下無限拓宽。|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。
列表抓取自变量x值常常以0为中心，抓取以便计算、描点的整数值，描点连线时一定得用光洁曲线联接，并注意变化趋向。
本节出题关键是考察二次函数的定义，二次函数y＝ax2的图像和性质的运用。
主要知识
准则1二次函数的定义:一般地，假如是常数，那麼，y称为x的二次函数．
准则2
抛物线的相关定义:
图13-14
如图13-14，函数y=x2的图象是一条有关y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．事实上，二次函数的图像都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴和抛物线的交点是抛物线的顶点．
准则3
抛物线y=ax2的性质:一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是起点，在a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，在a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
准则41.二次函数的定义(1)概念:一般地，假如y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那麼，y称为x的的二次函数. (2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特点是:等号左侧是函数y，右侧是自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中一次项系数b与常数项c可以是任何实数，而二次项系数a必需是非零实数，即a≠0.2.二次函数y＝ax2的图象
图13-1
用描点法画出二次函数y＝x2的图象，如图13-1，这是一条有关y轴对称的曲线，这样的曲线称为抛物线.
因为抛物线y＝x2有关y轴对称，因此y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴和抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图像的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.因此函数y＝x2有最小值，它的最小值便是最低点的纵坐标.3.二次函数y＝ax2的性质
函数
图象
开口方向
顶点座标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a＞0
进取(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增加而增加；
x＜0时，y随x增加而减小.
在x＝0时，y最小＝0.
y=ax2
a＜0
往下(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增加而减小；
x＜0时，y随x增加而增加.
在x＝0时，y最大＝0.4.二次函数y＝ax2的图象的画法
用描点法画二次函数y＝ax2的图象时，应在顶点的左、右两边对称地抓取自变量x的值，随后计算出相对的y值，这样的匹配值抓取越聚集，描出的图象越精确.二次函数y=ax2+bx+c
学习需求:
1．会用描点法画出二次函数的图像．
2．能运用图像或者根据配方确定抛物线的开口方位及对称轴、顶点、的位置．
*3．会由已知图像上三个点的座标求出二次函数的剖析式．
重难点1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图像与性质的了解及活学活用，难题是二次函数y＝ax2+bx+c的性质与根据配方把剖析式化为y＝a(x-h)2+k的方式。2.学习本大节需要认真观察总结图像的特征及其不一样图像当中的关系。
把不同的图像联系起來，找到其关联性。一般地几个不一样的二次函数，假如二次项系数a一样，那麼抛物线的开口方位、开口大小(即形态)全部一样，只不过是位置不一样.
任何抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2通过适当地平移得到，具体平移方式如下图所示:
注意:上述平移的规律是:“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”事实上相关抛物线的平移问题，不能照本宣科平移规律，只须先将其剖析式化成顶点式，随后依据它们的顶点的位置关系，确定平移方位与平移的距离十分简洁.
图13-11
比如，要探究抛物线L1∶y＝x2-2x+3和抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3根据配方变为顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，依据它们的顶点的位置，容易看出:由L2向右平移1个部门，再进取平移两个部门，即得L1；相反，由L1向左平移1个部门，再往下平移两个部门，即得L2.二次函数y＝ax2+bx+c的图像和y＝ax2的图像形态完全一样，它们的性质还有类似之处。
在a＞0时，两条抛物线的开口都进取，并进取無限拓宽，抛物线有最低点，y有最小值，在a＜0时，开口都往下，并往下無限拓宽，抛物线有最高处，y有最大值.3.画抛物线时一定要先确定开口方位与对称轴、顶点位置，再运用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才算是完好的，比较精确的图像。
不然画出的图像，通常仅仅是其中一部分。比如画y＝(x+1)2-1的图像。
列表:
-3
-2
-1
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能体现其全貌的图像。
正解:由剖析式可知，图像开口向下，对称轴是x＝-1,顶点座标是(-1，-1)
列表:
-4
-3
-2
-1
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线:如图13-12
图13-124.用配方式将二次函数y＝ax2+bx+c化为y＝a(x-h)2+k的方式，首先要提出二次项系数a。
常犯的错误只提第一项，后边漏提。例如y＝x2+6x-21 写为y＝(x2+6x-21)或者y＝(x2-12x-42)把标记弄错，关键缘由是没有把握添括号的准则。
本节出题关键考察二次函数y＝ax2+bx+c的图像与性质以及在具体生活上的应用。既有填空题、选择题，又有解答题，与方程、几何、一次函数的综合题常做为中考(初中学业水平测试)压轴题。
主要知识
准则1
抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k 和 y=ax2 形态一样，位置不一样．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特征:(l) a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；(2) 对称轴是直线x＝h；(3) 顶点座标是(h，k)．
准则2二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:
y=ax2+bx+c ( a，b，c 是常数，a≠0)是二次函数，图象是抛物线．运用配方，能把二次函数表明成 y=a(x-h)2+k 的方式，从而可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ，顶点座标是 ，在a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
准则31.二次函数剖析式的几类方式(1)一般式:y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式:y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式:y＝a(x-x1)(x-x2)，这其中x1,x2是抛物线和x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的2个根，a≠0.
说明:(1)任意一个二次函数根据配方都能化成顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点座标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；在k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；在h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在起点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c和x轴有交点时，即匹配二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，依据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化成两根式y＝a(x-x1)(x-x2).2.二次函数剖析式的确定
确定二次函数剖析式，一般仍用待定系数法.因为二次函数剖析式有三个待定系数a、b、c(或者a、h、k或者a、x1、x2)，因此确定二次函数剖析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任何三个点的座标时，采用一般式比较方便；在已知抛物线的顶点座标时，采用顶点式比较方便；在已知抛物线和x轴2个点的座标(或者横坐标x1,x2)时，采用两根式比较方便.
注意:在采用顶点式或者两根式求二次函数剖析式时，最后一般全要化一般式.3.二次函数y＝ax2+bx+c的图象二次函数y＝ax2+bx+c的图好像对称轴平行于(包含重合)y轴的抛物线.4.二次函数的性质
依据二次函数y＝ax2+bx+c的图象可总结其性质如下表:
函数二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
a＞0
a＜0(1)抛物线开口向上，并进取無限拓宽.(2)对称轴是x＝，顶点座标是(, ).(3)当x＜时，y随x的增加而减小；在x＞时，y随x的增加而增加.(4)抛物线有最低点，在x＝时，y有最小值，y最小值＝ .(1) )抛物线开口向下，并往下無限拓宽.(2)对称轴是x＝，顶点座标是(, ).(3)当x＜时，y随x的增加而增加；在x＞时，y随x的增加而减小.(4)抛物线有最高处，在x＝时，y有最大值，y最大值＝ .5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方式①配方式:将剖析式化成y＝a(x-h)2+k的方式，顶点座标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，在x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，在x＝h时，y最大值＝k.②公式法:直接运用顶点座标公式(, ),求其顶点；对称轴是直线x＝,若a＞0，y有最小值，在x＝时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，在x＝时，y最大值＝ .6.二次函数y＝ax2+bx+c的图象的画法
因为二次函数的图好像抛物线，是轴对称图型，因此作图时常用简化的描点法与五点法，其流程是:(1)先找到顶点座标，画出对称轴；(2)找到抛物线上有关对称轴的四个点(如和坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的次序用光滑曲线连结起來.7.二次函数y＝ax2+bx+c的图象的位置和a、b、c及Δ标记有紧密的关系(见下表):
字母的符号
图象的位置
a＞0
a＜0
开口向上 开口向下
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左边 对称轴在y轴右边
c=0 c＞0 c＜0
通过起点 和y轴正半轴相交 和y轴负半轴相交8.二次函数和一元二次方程的关系二次函数y＝ax2+bx+c的图象(抛物线)和x轴的2个交点的横坐标x1、x2，是相对的一元二次方程ax2+bx+c＝0的2个实数根.抛物线和x轴的交点状况可以由相对的一元二次方程的根的判别式判断:
Δ＞0 抛物线和x轴有两个交点；
Δ＝0 抛物线和x轴有1个交点；
Δ＜0 物线和x轴有0个交点(没有交点).
